In an AP, a₂ + a₅ + a₈ = 111. Find a₅.एक AP में a₂ + a₅ + a₈ = 111 है। a₅ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3737
The key property is symmetry in an arithmetic progression. Terms equally distant from a central term have a sum equal to twice that central term: a₅₋₃ + a₅ + a₅₊₃ = 3a₅. Here a₂ and a₈ are three positions below and above a₅, respectively. Therefore a₂ + a₈ = 2a₅, and the given equation becomes 2a₅ + a₅ = 111, or 3a₅ = 111. Dividing by 3 gives a₅ = 37. Hence option B is correct. No first term or common difference is needed. The other choices would make the total 105, 117, or 123 under the same symmetry relation.इस प्रश्न में समान्तर श्रेणी की सममित पदों वाली विशेषता लागू होती है। किसी मध्य पद से समान दूरी पर स्थित दो पदों का योग मध्य पद के दो गुने के बराबर होता है। यहाँ a₂ और a₈, a₅ से क्रमशः तीन स्थान नीचे और ऊपर हैं, इसलिए a₂ + a₈ = 2a₅। दिया गया समीकरण तब 2a₅ + a₅ = 111, अर्थात् 3a₅ = 111 बन जाता है। 3 से भाग देने पर a₅ = 37 मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। इस हल में पहला पद या सार्व अंतर अलग से निकालने की आवश्यकता नहीं है। यदि a₅ को 35, 39 या 41 माना जाए, तो कुल योग क्रमशः 105, 117 या 123 होगा, 111 नहीं।
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