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D. हर अगला पद पिछले पद में समान संख्या जोड़कर मिलता है/Each next term is obtained by adding the same number to the previous term
Explanation
Simple Explanation
अंकगणितीय श्रेणी में समान संख्या जोड़ी जाती है। यही संख्या सार्व अंतर कहलाती है। / In an arithmetic progression the same number is added. This number is called the common difference.
(d) सार्व अंतर को दर्शाता है। परीक्षा में (a) और (d) की पहचान अलग रखें। / (d) represents the common difference. In exams identify (a) and (d) separately.
सार्व अंतर (10-12=-2) है। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक हो सकता है। / The common difference is (10-12=-2). A decreasing progression can have a negative difference.
क्रमागत पदों का समान अंतर अंकगणितीय श्रेणी की मुख्य पहचान है। परीक्षा में पहले अंतर जांचें। / A constant difference between consecutive terms is the key sign of an arithmetic progression. In exams first check the differences.
विवेचक \(D=b^2-4ac\) होता है। इसे याद रखने से मूलों की प्रकृति समझना आसान होता है। / The discriminant is \(D=b^2-4ac\). Remembering it helps in understanding the nature of roots.
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है और \(a\neq 0\) होता है। परीक्षा में पहले मानक रूप पहचानें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x) and \(a\neq 0\). In exams identify the standard form first.
द्विघात समीकरण में (x) की सबसे बड़ी घात (2) होती है। परीक्षा में सबसे पहले घात देखें। / A quadratic equation has highest power (2) of (x). In exams first check the degree.
बागान मजदूर अपने घरों से दूर कठोर नियंत्रण में रहते थे। / Plantation workers lived under strict control away from their homes.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उनके लिए घर लौटना ही स्वतंत्रता का बड़ा प्रतीक था। / For them, returning home became a major symbol of freedom.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बागान मजदूरों की स्वराज समझ को उनकी बंधी हुई स्थिति से जोड़ें। / In exams, connect plantation workers' idea of swaraj with their restricted condition.
D. क्योंकि महिलाओं ने उद्योग सेवा और राहत कार्यों में व्यापक भागीदारी की/Because women participated widely in industry services and relief work
Explanation
Simple Explanation
युद्ध ने महिलाओं की सार्वजनिक भूमिका को अधिक दिखाई देने वाला बनाया। परीक्षा में गृह मोर्चे को सामाजिक इतिहास से जोड़ें। / The war made women's public role more visible. For exams connect the home front with social history.
C. क्योंकि उद्योग भोजन और प्रचार युद्ध प्रयास का हिस्सा बने/Because industry food and propaganda became part of war effort
Explanation
Simple Explanation
कुल युद्ध में नागरिक अर्थव्यवस्था भी युद्ध से जुड़ जाती है। परीक्षा में गृह मोर्चा को कुल युद्ध से जोड़ें। / In total war the civilian economy also becomes tied to war. For exams connect the home front with total war.
B. देश के अंदर नागरिक और उत्पादन प्रयास/Civilian and production efforts inside a country
Explanation
Simple Explanation
गृह मोर्चा नागरिकों उद्योग और संसाधनों के युद्ध प्रयास से जुड़ा होता है। परीक्षा में इसे कुल युद्ध से जोड़ें। / The home front involves civilians industry and resources in war efforts. For exams connect it with total war.
होम रूल लीग आंदोलन 1916 में शुरू हुआ था। इसे तिलक और एनी बेसेंट से जोड़ें। / The Home Rule League movement began in 1916. Link it with Tilak and Annie Besant.
तिलक की होम रूल लीग 1916 में बनी थी। इसे स्वशासन की मांग और जन आंदोलन से याद रखें। / Tilak's Home Rule League was formed in 1916. Remember it with the demand for self-government and mass politics.
होम रूल आंदोलन 1916 में शुरू हुआ था। परीक्षा में इसे एनी बेसेंट और बाल गंगाधर तिलक से जोड़ें। / The Home Rule Movement began in 1916. For exams connect it with Annie Besant and Bal Gangadhar Tilak.
A. राजनीतिक सहयोग और स्वशासन की मांग मजबूत हुई/Political cooperation and demand for self-government strengthened
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने राजनीतिक सक्रियता और स्वशासन की मांग को बल दिया। इसे उन्नीस सौ सोलह की राजनीति से जोड़ें। / The Home Rule Movement strengthened political activity and the demand for self-government. Link it with the politics of 1916.
A. स्वशासन की मांग को संगठित प्रचार से लोकप्रिय बनाना/Popularizing self-government through organized propaganda
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने स्वशासन की मांग को व्यापक राजनीतिक मुद्दा बनाया। एनी बेसेंट और तिलक को इसके साथ याद करें। / The Home Rule Movement made self-government a broad political issue. Remember Annie Besant and Tilak with it.
B. एनी बेसेंट और बाल गंगाधर तिलक/Annie Besant and Bal Gangadhar Tilak
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन में एनी बेसेंट और बाल गंगाधर तिलक प्रमुख थे। इसका लक्ष्य स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाना था। / Annie Besant and Bal Gangadhar Tilak were key figures in the Home Rule Movement. It aimed to popularize the demand for self-government.
A. स्वशासन को व्यापक राजनीतिक अधिकार की मांग बनाया/It made self-government a broad demand for political rights
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने स्वशासन की मांग को जनता में लोकप्रिय किया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट याद रखें। / Home Rule popularised the demand for self-government among people. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant.
युद्धकाल में स्वशासन की मांग को तिलक और एनी बेसेंट ने लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में होम रूल का अर्थ याद रखें। / Tilak and Annie Besant popularised self-government demand during wartime. Exam tip: remember the meaning of Home Rule.
A. इसने स्वशासन की मांग को जनता में लोकप्रिय बनाया/It popularised the demand for self-government among people
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने स्वशासन की मांग को व्यापक राजनीतिक चर्चा बनाया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट याद रखें। / Home Rule made self-government a broad political discussion. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant.
A. ब्रिटेन भारतीय संसाधन चाहता था और भारतीय नेता राजनीतिक अधिकार चाहते थे/Britain wanted Indian resources and Indian leaders wanted political rights
Explanation
Simple Explanation
युद्ध ने राजनीतिक सौदेबाजी की स्थिति बनाई। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को याद रखें। / The war created a situation for political bargaining. Exam tip is to remember Tilak and Annie Besant.
A. स्थानीय शाखाओं और प्रचार साहित्य से स्वशासन का प्रसार/Spread of self-government through local branches and pamphlets
Explanation
Simple Explanation
होम रूल लीगों ने स्वशासन को संगठित अभियान बनाया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को इससे जोड़ें। / Home Rule Leagues made self-government an organized campaign. Exam tip is to link Tilak and Annie Besant with it.
A. स्वशासन की मांग को अधिक जनप्रिय बनाया/It made demand for self-government more popular
Explanation
Simple Explanation
तिलक और एनी बेसेंट ने स्वशासन की मांग को व्यापक बनाया। परीक्षा में होम रूल को स्वशासन से जोड़ें। / Tilak and Annie Besant broadened the demand for self-government. Exam tip: connect Home Rule with self-government.
होम रूल आंदोलन ने स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में इसे प्रथम विश्व युद्ध की राजनीति से जोड़ें। / The Home Rule Movement popularized the demand for self-government. Exam tip is to link it with First World War politics.
होम रूल का अर्थ स्वशासन था और इसे तिलक व एनी बेसेंट ने आगे बढ़ाया। परीक्षा में आंदोलन और नेता साथ याद रखें। / Home Rule meant self-government and it was advanced by Tilak and Annie Besant. Exam tip: remember movements with leaders.
A. इसने स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाया/It popularized the demand for self-government
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने स्वशासन को जनचर्चा का विषय बनाया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को इससे जोड़ें। / Home Rule made self-government a subject of public discussion. Exam tip is to connect Tilak and Annie Besant with it.
A. भारत के लिए स्वशासन की मांग/Demand for self-government for India
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को साथ याद रखें। / Home Rule popularised the demand for self-government. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant together.
तिलक होम रूल आंदोलन के प्रमुख नेताओं में थे। परीक्षा में होम रूल को स्वशासन से जोड़ें। / Tilak was among the major leaders of the Home Rule Movement. Exam tip: connect Home Rule with self-government.
A. भारत के लिए स्वशासन की मांग/Demand for self-government for India
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने भारत में स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में होम रूल का अर्थ स्वशासन याद रखें। / The Home Rule Movement popularised the demand for self-government in India. Exam tip: remember Home Rule means self-government.
एनी बेसेंट होम रूल आंदोलन की प्रमुख नेता थीं। परीक्षा में होम रूल को स्वशासन की मांग से जोड़ें। / Annie Besant was a major leader of the Home Rule Movement. Exam tip is to link Home Rule with the demand for self-government.
A. स्वशासन की मांग को युद्धकालीन जन अभियान बनाया/It made the demand for self-government a wartime public campaign
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने स्वशासन की मांग को अधिक लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को साथ याद रखें। / Home Rule made the demand for self-government more popular. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant together.
A. वे भारत से ब्रिटेन जाने वाले अदृश्य आर्थिक निकास का भाग थे/They were part of invisible economic drain from India to Britain
Explanation
Simple Explanation
होम चार्जेज ने भारत की आय को ब्रिटेन भेजने की प्रक्रिया को दिखाया। परीक्षा में धन निकासी के स्रोत याद रखें। / Home Charges showed the process of sending India's income to Britain. Exam tip: remember sources of economic drain.
A. स्वशासन की मांग का संगठित प्रचार/Organized propaganda for self-government
Explanation
Simple Explanation
होम रूल लीगों ने जनता में स्वशासन की चर्चा फैलाई। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को याद रखें। / Home Rule Leagues spread discussion of self-government among people. Exam tip is to remember Tilak and Annie Besant.
A. इसने स्वशासन की मांग को अधिक संगठित और लोकप्रिय बनाया/It made the demand for self-government more organized and popular
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने युद्धकाल में राजनीतिक चेतना बढ़ाई। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को इससे जोड़ें। / Home Rule increased political awareness during wartime. Exam tip is to link Tilak and Annie Besant with it.
A. स्वशासन की मांग को अधिक लोकप्रिय बनाया/It made the demand for self-government more popular
Explanation
Simple Explanation
होम रूल ने जनता में स्वशासन की चर्चा बढ़ाई। परीक्षा में एनी बेसेंट और तिलक को याद रखें। / Home Rule increased discussion of self-government among people. Exam tip is to remember Annie Besant and Tilak.
A. भारत के लिए स्वशासन की मांग/Demand for self-government for India
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने भारत में स्वशासन की मांग को तेज किया। परीक्षा में तिलक और एनी बेसेंट को साथ याद रखें। / The Home Rule Movement intensified the demand for self-government in India. Exam tip: remember Tilak and Annie Besant together.
A. ब्रिटिश साम्राज्य के भीतर स्वशासन/Self-government within the British Empire
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन ने स्वशासन की मांग को लोकप्रिय बनाया। परीक्षा में एनी बेसेंट और तिलक को इससे जोड़ें। / The Home Rule Movement popularized the demand for self-government. Exam tip is to connect Annie Besant and Tilak with it.
सरदार वल्लभभाई पटेल स्वतंत्र भारत के पहले गृह मंत्री थे। परीक्षा में उन्हें रियासतों के एकीकरण से भी जोड़ें। / Sardar Vallabhbhai Patel was the first Home Minister of independent India. Exam tip: also connect him with integration of princely states.
D. बाल गंगाधर तिलक और एनी बेसेंट/Bal Gangadhar Tilak and Annie Besant
Explanation
Simple Explanation
होम रूल आंदोलन में तिलक और एनी बेसेंट की प्रमुख भूमिका थी। परीक्षा में आंदोलनों के नेतृत्व को याद रखें। / Tilak and Annie Besant played key roles in the Home Rule Movement. Exam tip: remember leadership of movements.
एनी बेसेंट ने होम रूल आंदोलन में प्रमुख भूमिका निभाई। परीक्षा में होम रूल को स्वशासन की मांग से जोड़ें। / Annie Besant played a major role in the Home Rule Movement. Exam tip is to link Home Rule with the demand for self-government.
D. सल्तनत की आर्थिक और प्रशासनिक व्यवस्था/Economic and administrative system of the Sultanate
Explanation
Simple Explanation
इल्तुतमिश ने चांदी का टंका प्रचलित किया। इससे सल्तनत की आर्थिक व्यवस्था को स्थिरता मिली। / Iltutmish introduced the silver tanka. It helped stabilize the economic system of the Sultanate.
पहले और पांचवें पद के बीच (4) बराबर अंतराल हैं, इसलिए \(d=\frac{19-3}{4}=4\)। परीक्षा में दूर दिए गए पदों के बीच कुल अंतर को अंतरालों की संख्या से भाग दें। / There are (4) equal gaps between the first and fifth terms, so \(d=\frac{19-3}{4}=4\). In exams, divide the total difference between distant terms by the number of gaps.
\(a_5-a_2=3d=15\), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है। / \(a_5-a_2=3d=15\), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.
हर पद पिछले से (2.5) कम है, इसलिए (d=-2.5)। परीक्षा में घटते दशमलव अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह न भूलें। / Each term is (2.5) less than the previous one, so (d=-2.5). In exams, do not forget the negative sign in decreasing decimal sequences.
\(a_6-a_3=3d=21\), इसलिए (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक का अंतर (3) है, (6) नहीं। / \(a_6-a_3=3d=21\), so (d=7). In exams, the term-number gap is (3), not (6).
गुणन से हर अंतर (t) गुना हो जाता है। परीक्षा में स्केलिंग सीधे सामान्य अंतर पर भी लागू करें। / Multiplication makes every difference (t) times as large. In exams, apply scaling directly to the common difference.
दोनों लगातार अंतर (3a+2b) हैं, इसलिए ये पद समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में दोनों अंतरों की समानता भी साथ-साथ जांचें। / Both consecutive differences are (3a+2b), so the terms are in AP. In exams, also check equality of the two differences.
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Explanation
Simple Explanation
पद \(0,0,2,6,\ldots\) हैं और अंतर \(0,2,4,\ldots\) बदलते हैं। परीक्षा में गुणन रूप को फैलाकर या पहले पदों से जांचें। / The terms are \(0,0,2,6,\ldots\), and the differences \(0,2,4,\ldots\) change. In exams, expand the product or test initial terms.
B. समांतर श्रेणी है और (d=4)/It is an AP and (d=4)
Explanation
Simple Explanation
हर अगले पद में (4) जुड़ता है, इसलिए सामान्य अंतर (4) है। परीक्षा में चर वाला स्थिर भाग अंतर को नहीं बदलता। / Each next term adds (4), so the common difference is (4). In exams, a variable constant part does not change the difference.
योग अनुक्रम का अंतर (3+(-5)=-2) होगा। परीक्षा में समान क्रमांक वाले पदों के योग में अंतरों का भी योग करें। / The sum sequence has difference (3+(-5)=-2). In exams, for sums of corresponding terms, add the differences too.
\(a_7\) और \(a_2\) के बीच (5) अंतराल हैं, इसलिए (5d=35) और (d=7)। परीक्षा में पद क्रमांक घटाकर अंतराल पाएं। / There are (5) intervals between \(a_7\) and \(a_2\), so (5d=35) and (d=7). In exams, subtract term numbers to get intervals.
दो पद आगे जाने पर परिवर्तन (2d) होता है, इसलिए (2d=18) और (d=9)। परीक्षा में छलांगों की संख्या गिनें। / Moving two terms ahead changes the value by (2d), so (2d=18) and (d=9). In exams, count the number of jumps.
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
D. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Explanation
Simple Explanation
पद \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में हर बदलने वाले भिन्नों को अंतर से परखें। / The terms are \(\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractions with changing denominators by differences.
हर अगली तारीख (7) दिन बाद है। परीक्षा में इकाई के साथ उत्तर देना अधिक स्पष्ट होता है। / Each next date is (7) days later. In exams, including the unit makes the answer clearer.
हर कदम पर (9) घट रहा है, इसलिए (d=-9)। परीक्षा में अवरोही क्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / Each step subtracts (9), so (d=-9). In exams, keep the difference negative for descending order.
C. केवल \(a_2-a_1=a_3-a_2\)/Only \(a_2-a_1=a_3-a_2\)
Explanation
Simple Explanation
केवल पहले तीन पदों की जांच पूरे अनुक्रम के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा में पूरी शर्त में हर (n) या सभी लगातार पद शामिल होने चाहिए। / Checking only the first three terms is not enough for the whole sequence. In exams, the full condition must involve every (n) or all consecutive terms.
मध्य पद \(m=\frac{14+50}{2}=32\) है और (d=18)। परीक्षा में तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(m=\frac{14+50}{2}=32\), and (d=18). In exams, the middle term of three AP terms is the average.
यहां \(c_n=4\) हर (n) के लिए स्थिर है, इसलिए उसका सामान्य अंतर (0) है। परीक्षा में अंतरों के अनुक्रम को अलग अनुक्रम मानकर देखें। / Here \(c_n=4\) for every (n), so its common difference is (0). In exams, treat the sequence of differences as a separate sequence.
अंतर (k+1,3k-3,3k-3) हैं और बराबरी से (k=2) मिलता है। परीक्षा में चार पदों में सभी लगातार अंतर जांचें। / The differences are (k+1,3k-3,3k-3), and equality gives (k=2). In exams, check all consecutive differences for four terms.
हर बार दूरी (12) किलोमीटर बढ़ती है। परीक्षा में वास्तविक जीवन प्रश्न में भी वही लगातार अंतर निकालें। / The distance increases by (12) kilometres each time. In word problems, still find the same consecutive difference.
हर अगले पद में \(\sqrt{5}\) जुड़ता है। परीक्षा में चर (x) स्थिर भाग है, सामान्य अंतर नहीं। / Each next term adds \(\sqrt{5}\). In exams, the variable (x) is the fixed part, not the common difference.
B. नहीं, लगातार अंतर बदलता है/No, the consecutive difference changes
Explanation
Simple Explanation
प्रारंभिक पद \(1,5,5,9,\ldots\) देते हैं, इसलिए अंतर स्थिर नहीं है। परीक्षा में ((-1)^n) वाले पदों को कुछ मान रखकर जांचें। / The initial terms are \(1,5,5,9,\ldots\), so the difference is not constant. In exams, test terms containing ((-1)^n) by substituting a few values.
सामान्य अंतर दूसरा पद घटा पहला पद है, इसलिए (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6)। परीक्षा में कोष्ठक हटाते समय ऋण चिन्ह संभालें। / The common difference is second term minus first term, so (3\lambda+2-\(\lambda-4\)=2\lambda+6). In exams, handle the minus sign before brackets carefully.
C. नहीं, अंतर \(4,12,36,\ldots\) हैं/No, the differences are \(4,12,36,\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में गुणन पैटर्न को समांतर श्रेणी न मानें। / The consecutive differences are not equal, so it is not an AP. In exams, do not confuse a multiplicative pattern with an AP.
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=3b)/They are in AP and (d=3b)
Explanation
Simple Explanation
दोनों लगातार अंतर (3b) हैं। परीक्षा में संतुलित प्रतीकात्मक पदों में अंतर सीधे निकालें। / Both consecutive differences are (3b). In exams, directly find differences in symbolic balanced terms.
D. नहीं, कोई वैध (x) नहीं/No, there is no valid (x)
Explanation
Simple Explanation
मध्य पद की शर्त से \(x^2-4=x^2\) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में हरों के शून्य न होने की शर्त भी देखें। / The middle-term condition gives \(x^2-4=x^2\), which is impossible. In exams, also check that denominators are nonzero.
\(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\)। परीक्षा में समान हर हो तो अंशों का अंतर तुरंत लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}\). In exams, with equal denominators, subtract numerators directly.
C. समांतर श्रेणी नहीं है क्योंकि अंतर \(2,3,4,5,\ldots\) हैं/It is not an AP because the differences are \(2,3,4,5,\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
लगातार अंतर बढ़ते जा रहे हैं, इसलिए वे स्थिर नहीं हैं। परीक्षा में प्रसिद्ध पैटर्न होने से समांतर श्रेणी होना जरूरी नहीं। / The consecutive differences keep increasing, so they are not constant. In exams, a famous pattern need not be an AP.
(a_n=(m+1)n) है, इसलिए (n) का गुणांक (m+1) है। परीक्षा में पहले समान पदों को मिलाकर रैखिक रूप बनाएं। / (a_n=(m+1)n), so the coefficient of (n) is (m+1). In exams, combine like terms before identifying the linear coefficient.
तीन पदों में \(2\beta=\alpha+\gamma\), इसलिए \(\beta=7\)। परीक्षा में मध्य पद को सिरों का औसत मानें। / For three AP terms, \(2\beta=\alpha+\gamma\), so \(\beta=7\). In exams, treat the middle term as the average of the extremes.
शर्त \(2r^2=r+r^3\) से (r(r-1)2=0) मिलता है, इसलिए शून्येतर मान (1) है। परीक्षा में दी गई शून्येतर शर्त जरूर लगाएं। / The condition \(2r^2=r+r^3\) gives (r(r-1)2=0), so the nonzero value is (1). In exams, always apply the nonzero condition.
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
पहले पद (11) से हर बार (2) घटेगा। परीक्षा में (d) ऋणात्मक हो तो पद घटते हैं। / Starting from (11), subtract (2) each time. In exams, a negative (d) makes the terms decrease.
समांतर श्रेणी में लगातार अंतर बराबर होते हैं, इसलिए (b-a=c-b)। परीक्षा में इसी को (2b=a+c) भी लिखा जा सकता है। / In an AP, consecutive differences are equal, so (b-a=c-b). In exams, the same condition can be written as (2b=a+c).
पद (p,p+d,p+2d,p+3d) रखने पर (p+s=q+r) मिलता है। परीक्षा में चार पदों के संबंध प्रतीकात्मक रूप से जांचें। / Writing the terms as (p,p+d,p+2d,p+3d) gives (p+s=q+r). In exams, verify four-term relations symbolically.
A. समांतर श्रेणी है और \(d=\sqrt{3}\)/It is an AP and \(d=\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
पद \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\) बनते हैं। परीक्षा में मूलों को सरल करके ही अंतर निकालें। / The terms become \(\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}\). In exams, simplify radicals before finding differences.
(n=1) रखने पर \(a_1=c\) और हर अगले पद में (r) घटता है। परीक्षा में (a+d(n-1)) रूप से तुलना करें। / Putting (n=1) gives \(a_1=c\), and each next term subtracts (r). In exams, compare with the form (a+d(n-1)).
हर बार \(3.5^\circ\) की कमी है, इसलिए \(d=-3.5^\circ\)। परीक्षा में घटते अनुक्रम में ऋणात्मक चिन्ह लगाएं। / Each step decreases by \(3.5^\circ\), so \(d=-3.5^\circ\). In exams, use a negative sign for a decreasing sequence.
