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If \(S_n=1+2+3+\cdots+n\), which of the following expressions is an odd perfect square for every natural number \(n\)?यदि \(S_n=1+2+3+\cdots+n\) हो, तो निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक प्रत्येक प्राकृतिक संख्या \(n\) के लिए एक विषम पूर्ण वर्ग होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8S_n+1\)\(8S_n+1\)
Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), which is always an odd perfect square. Exam tip: substitute the sum formula and look for a perfect-square identity.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\) मिलता है, जो सदैव विषम पूर्ण वर्ग है। परीक्षा संकेत: ऐसे प्रश्नों में योग का सूत्र रखकर उसे पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें।
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