If S_n=7140, where S_n is the sum of the first n natural numbers, what is the value of S_(n+5)−S_n?यदि S_n=7140 है, जहाँ S_n प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो S_(n+5)−S_n का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 610610
First determine n from the triangular-number equation n(n+1)/2=7140. Since 119×120/2=7140, n=119. Now interpret the difference carefully: S_(n+5)−S_n contains exactly the five terms after n, namely 120, 121, 122, 123, and 124. Their sum is an arithmetic-series sum: number of terms × average =5×(120+124)/2=5×122=610. Therefore option D is correct. The value 605 in option C is not supported by the calculation. The key indexing point is that n itself is already included in S_n and cancels, while the next five numbers remain. This explains both the answer and the main distractor.पहले n का मान निकालना होगा। सूत्र n(n+1)/2=7140 में n=119 रखने पर 119×120/2=7140 मिलता है, इसलिए n=119 है। अब अंतर को सही ढंग से समझें: S_(n+5)−S_n में n के बाद के ठीक पाँच पद शामिल होंगे, अर्थात 120, 121, 122, 123 और 124। इनका योग समान्तर श्रेणी के सूत्र से 5×(120+124)/2=5×122=610 है। अतः विकल्प D सही है। विकल्प C का 605 गणना से प्राप्त नहीं होता। मुख्य सूचकांक-बिंदु यह है कि n वाला पद S_n में पहले ही शामिल है और घटाने पर समाप्त हो जाता है, जबकि उसके बाद के पाँच पद बचते हैं। इसी कारण 610 सही और स्पष्ट उत्तर है।
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