If S_n=8911, where S_n is the sum of the first n natural numbers, what is the value of n?यदि S_n=8911 है, जहाँ S_n प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 133133
Apply the formula S_n=n(n+1)/2 to the given value. We need n(n+1)/2=8911, so n(n+1)=17822. The consecutive integers 133 and 134 give 133×134=17822. Therefore S_133=133×134/2=8911, which proves that n=133 and option B is correct. Neighboring values confirm the result: S_132=132×133/2=8778 and S_134=134×135/2=9045. The partial sums of positive natural numbers increase strictly, so one index cannot produce the same sum as another. Thus the factorization into consecutive integers is not merely a trial; it establishes the unique natural-number solution.प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र S_n=n(n+1)/2 लगाएँ। दिए गए मान के लिए n(n+1)/2=8911, इसलिए n(n+1)=17822 होगा। 133 और 134 क्रमागत संख्याएँ हैं तथा 133×134=17822। अतः S_133=133×134/2=8911, जिससे n=133 सिद्ध होता है और विकल्प B सही है। पास के मानों से भी जाँच करें: S_132=132×133/2=8778 तथा S_134=134×135/2=9045। धनात्मक प्राकृतिक संख्याओं के आंशिक योग हमेशा क्रमशः बढ़ते हैं, इसलिए दो अलग-अलग सूचक समान योग नहीं दे सकते। इस प्रकार क्रमागत गुणनखंडों की पहचान केवल अनुमान नहीं है, बल्कि प्राकृतिक संख्या के अद्वितीय हल की पुष्टि करती है।
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