If S_n=n(n+1)/2 and S_n=6670, what is the value of n?यदि S_n=n(n+1)/2 और S_n=6670 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 115115
Substitute the given sum into the standard formula: n(n+1)/2=6670. Multiplying both sides by 2 gives n(n+1)=13340. For n=115, the consecutive product is 115×116=13340, so 115×116/2=6670. Therefore n=115 and option C is correct. Checking the other listed values confirms that they fail: 110×111/2=6105, 112×113/2=6328, and 116×117/2=6786. Because n is a natural-number index and the expression n(n+1)/2 strictly increases as n increases, there cannot be another natural-number value among the options producing 6670. Direct substitution provides a complete verification.दिए गए योग को सूत्र S_n=n(n+1)/2 में रखने पर n(n+1)/2=6670 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर n(n+1)=13340 मिलता है। n=115 रखने पर 115×116=13340, इसलिए 115×116/2=6670 है। अतः n=115 और विकल्प C सही है। अन्य विकल्पों की जाँच करें: 110×111/2=6105, 112×113/2=6328 तथा 116×117/2=6786 मिलते हैं, इसलिए वे दिए गए योग के बराबर नहीं हैं। चूँकि n प्राकृतिक संख्याओं का सूचक है और n(n+1)/2 का मान n बढ़ने पर लगातार बढ़ता है, इसलिए 6670 के लिए सही मान अद्वितीय है। प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से उत्तर पूरी तरह सत्यापित हो जाता है।
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