What is 4 times the difference between S_96 and S_48, where S_n is the sum of the first n natural numbers?जहाँ S_n प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, वहाँ S_96 और S_48 के अंतर का 4 गुना कितना है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1392013920
Use the triangular-number formula S_n=n(n+1)/2. We have S_96=96×97/2=48×97=4656 and S_48=48×49/2=24×49=1176. Their difference is 4656−1176=3480. The question asks for four times this difference, so 4×3480=13920. Hence option A is correct. A useful alternative is to observe that S_96−S_48=49+50+...+96. This arithmetic sequence has 48 terms and average (49+96)/2=72.5, giving 48×72.5=3480, followed by multiplication by 4. The other choices result from arithmetic slips or from forgetting the final factor of four.इस प्रश्न में प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र S_n=n(n+1)/2 प्रयोग करें। S_96=96×97/2=48×97=4656 और S_48=48×49/2=24×49=1176 है। अतः दोनों का अंतर 4656−1176=3480 होगा। प्रश्न में इस अंतर का चार गुना पूछा गया है, इसलिए 4×3480=13920। इस कारण विकल्प A सही है। वैकल्पिक रूप से S_96−S_48 को 49+50+...+96 लिख सकते हैं। इसमें 48 पद हैं और औसत (49+96)/2=72.5 है; इसलिए योग 48×72.5=3480 आता है और फिर चार से गुणा करने पर 13920 मिलता है। अन्य विकल्प जोड़, घटाव या चार से गुणा करने की भूल से प्राप्त होते हैं।
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