If Sₓ = 8385, where Sₓ is the sum of the first x natural numbers, what is the value of x?यदि Sₓ = 8385 है, जहाँ Sₓ प्रथम x प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो x का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 129129
Answer: B, 129. The formula for the sum of the first x natural numbers is Sₓ = x(x + 1)/2. Substitute the given value: x(x + 1)/2 = 8385, so x(x + 1) = 16770. We look for two consecutive integers whose product is 16770. Since 129 × 130 = 16770, x = 129. A direct check gives S₁₂₉ = 129 × 130/2 = 129 × 65 = 8385. Hence option B is correct. Checking nearby options also confirms uniqueness: S₁₂₈ = 128 × 129/2 = 8256, whereas S₁₃₀ = 130 × 131/2 = 8515. Since each new natural number increases the sum, no other index between these values can give 8385. Option A is too small and options C and D are too large. The useful pattern is to convert the triangular-number equation into a product of consecutive integers.उत्तर: B, 129। प्रथम x प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र Sₓ = x(x + 1)/2 है। दिए गए मान को रखने पर x(x + 1)/2 = 8385, इसलिए x(x + 1) = 16770। अब ऐसी दो क्रमागत संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 16770 हो। 129 × 130 = 16770, अतः x = 129 है। सीधी जाँच: S₁₂₉ = 129 × 130/2 = 129 × 65 = 8385। इसलिए विकल्प B सही है। पास के विकल्पों की जाँच भी उपयोगी है: S₁₂₈ = 128 × 129/2 = 8256 और S₁₃₀ = 130 × 131/2 = 8515। इसलिए 128 बहुत छोटा है, जबकि 130 और 131 से योग बहुत बड़ा हो जाता है। चूँकि प्रत्येक अगली प्राकृतिक संख्या जोड़ने पर आंशिक योग बढ़ता है, सही x अद्वितीय है। याद रखने योग्य तरीका है कि सूत्र को बदलकर x और x + 1 के क्रमागत गुणनफल की तलाश करें।
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