If (S_n=4656), what is the value of (S_{n+12}-S_n)?यदि (S_n=4656) है तो (S_{n+12}-S_n) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1230)(1230)
The direct answer is option A, 1230. For the first n natural numbers, S_n=n(n+1)/2. First solve n(n+1)/2=4656, or n(n+1)=9312. Since 96×97=9312, n=96. Now S_{n+12}-S_n means the sum of the next 12 natural numbers after 96: 97+98+...+108. There are 12 terms, and their average is (97+108)/2=205/2=102.5. Thus the sum is 12×102.5=1230. Equivalently, S_108-S_96=(108×109-96×97)/2=1230. Option A works. Option B, 1240, option C, 1250, and option D, 1260 are all larger than the correctly calculated sum. A common error is to add 96 itself or to use 12 terms ending at 109. Memory cue: S_{n+k}-S_n contains terms n+1 through n+k.सीधा उत्तर विकल्प A, 1230 है। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग S_n=n(n+1)/2 होता है। पहले n(n+1)/2=4656 से n(n+1)=9312 प्राप्त करें। क्योंकि 96×97=9312, इसलिए n=96। अब S_{n+12}-S_n का अर्थ 96 के बाद आने वाले 12 पदों का योग है: 97+98+...+108। यहाँ 12 पद हैं और उनका औसत (97+108)/2=205/2=102.5 है। इसलिए योग 12×102.5=1230 होगा। दूसरे तरीके से S_108-S_96=(108×109-96×97)/2=1230 भी मिलता है। विकल्प A सही है। विकल्प B, 1240, विकल्प C, 1250 और विकल्प D, 1260 सही गणना से बड़े हैं। सामान्य गलती 96 को भी जोड़ना या अंतिम पद 109 लेना है। याद रखें: S_{n+k}-S_n में n+1 से n+k तक के पद आते हैं।
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