If S₂ₖ₊₃ = 3240, what is the value of k?यदि S₂ₖ₊₃ = 3240 है, तो k का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 38.538.5
Answer: D, 38.5. Let m = 2k + 3. Then the given statement becomes Sₘ = 3240. Using Sₘ = m(m + 1)/2, we get m(m + 1)/2 = 3240, so m(m + 1) = 6480. The consecutive integers 80 and 81 have product 80 × 81 = 6480, so m = 80. Now substitute back: 2k + 3 = 80, hence 2k = 77 and k = 77/2 = 38.5. Therefore option D is correct. It is not necessary for k itself to be a whole number; the important index 2k + 3 equals 80, a valid natural-number index. Option A gives index 77, option B gives index 78, and option C gives index 79; none has sum 3240. A common confusion is to assume every variable in a sum problem must be an integer. Here the index is integral, while k may be fractional.उत्तर: D, 38.5। मान लें m = 2k + 3। तब दिया गया कथन Sₘ = 3240 बन जाता है। प्रथम m प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र Sₘ = m(m + 1)/2 है। इसलिए m(m + 1)/2 = 3240, अर्थात m(m + 1) = 6480। 80 × 81 = 6480, इसलिए m = 80 है। अब 2k + 3 = 80 रखने पर 2k = 77 और k = 77/2 = 38.5 प्राप्त होता है। अतः विकल्प D सही है। ध्यान दें कि k का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है; महत्वपूर्ण यह है कि सूचकांक 2k + 3 = 80 हो, जो प्राकृतिक संख्या है और दिए गए योग को सही बनाता है। विकल्प A, B और C रखने पर सूचकांक क्रमशः 77, 78 और 79 होंगे, जिनके प्रथम प्राकृतिक संख्याओं के योग 3240 नहीं हैं। सामान्य भ्रम यह है कि प्रश्न में दिखाई देने वाला हर चर पूर्णांक होना चाहिए, जबकि यहाँ केवल पूरा सूचकांक प्राकृतिक संख्या होना आवश्यक है।
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