On a stage, the rth row has 6r lamps. How many lamps will there be in 45 rows?एक मंच पर rवीं पंक्ति में 6r दीपक हैं। 45 पंक्तियों में कुल कितने दीपक होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 62106210
The number of lamps increases in direct proportion to the row number: row 1 has 6 lamps, row 2 has 12, and row r has 6r. Therefore, the total for 45 rows is 6 times the sum of the first 45 natural numbers. This is an arithmetic progression whose first term is 6, last term is 270, and number of terms is 45.
Using the sum formula, the total is \(6(1+2+\cdots+45)=6\times\frac{45(45+1)}{2}\). Thus it is \(6\times\frac{45\times46}{2}=6\times1035=6210\). Hence option B follows. The incomplete supplied explanation points toward the right method but does not finish the calculation; the answer itself is consistent.दीपकों की संख्या पंक्ति संख्या के सीधे अनुपात में बढ़ती है। पहली पंक्ति में 6, दूसरी में 12 और rवीं पंक्ति में 6r दीपक हैं। इसलिए 45 पंक्तियों में कुल दीपक, 6 को पहली 45 प्राकृतिक संख्याओं के योग से गुणा करने पर मिलेंगे। इसे 6, 12, 18, …, 270 वाली समान्तर श्रेणी के रूप में भी देखा जा सकता है।
योग का सूत्र \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाने पर कुल संख्या \(6\times\frac{45\times46}{2}=6\times1035=6210\) मिलती है। इसलिए विकल्प B सही है। दी गई व्याख्या में गणना अधूरी है, लेकिन उसका तरीका और दिया गया उत्तर सही तथा सुसंगत है।
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