If Sₙ − Sₙ₋₁ = 126 and Sₘ = 1953, what is n − m, where Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k?जहाँ Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k है, यदि Sₙ − Sₙ₋₁ = 126 और Sₘ = 1953, तो n − m कितना होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 6464
Answer: C, 64. By definition, Sₙ = 1 + 2 + ⋯ + n and Sₙ₋₁ = 1 + 2 + ⋯ + (n − 1). When we subtract them, all terms from 1 to n − 1 cancel, leaving only n. Thus Sₙ − Sₙ₋₁ = n, so the first condition gives n = 126. For the second condition, use Sₘ = m(m + 1)/2. We need m(m + 1)/2 = 1953. Since 62 × 63/2 = 31 × 63 = 1953, m = 62. Therefore n − m = 126 − 62 = 64, so option C is correct. Option A would result from an incorrect value of m or n. Option B may result from using m = 64 rather than calculating it. Option D reflects an addition or subtraction error. A useful memory cue is that the difference between two consecutive partial sums is always the newly added term: Sᵣ − Sᵣ₋₁ = r.उत्तर: C, 64। Sₙ = 1 + 2 + ⋯ + n और Sₙ₋₁ = 1 + 2 + ⋯ + (n − 1) होता है। दोनों को घटाने पर 1 से n − 1 तक के सभी पद कट जाते हैं और केवल n बचता है। इसलिए Sₙ − Sₙ₋₁ = n। पहली शर्त के अनुसार n = 126 है। अब दूसरी शर्त के लिए Sₘ = m(m + 1)/2 का सूत्र लगाते हैं। हमें m(m + 1)/2 = 1953 चाहिए। 62 × 63/2 = 31 × 63 = 1953, इसलिए m = 62। अतः n − m = 126 − 62 = 64 और विकल्प C सही है। विकल्प A, B और D में से कोई भी दोनों दी हुई शर्तों को एक साथ पूरा नहीं करता। सामान्य भ्रम यह होता है कि Sₙ − Sₙ₋₁ को कोई बड़ा योग समझ लिया जाए; वास्तव में यह केवल nवाँ, अर्थात नया जोड़ा गया पद होता है। इसे याद रखने के लिए लिखें: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर = नया पद।
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