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If \(S_n\) is the sum of the first \(n\) natural numbers, which of the following statements is always true for every positive integer \(n\)?यदि \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए सदैव सत्य है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8S_n+1\) is a perfect square\(8S_n+1\) is a perfect square
Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), a perfect square. However, \(S_n\) itself is not always odd or a square. Exam tip: substitute the standard sum formula to test such identities.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), जो पूर्ण वर्ग है। \(S_n\) स्वयं हमेशा पूर्ण वर्ग या विषम नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए व्यंजक में योग का सूत्र रखें।
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