In a parking arrangement, the \(r\)th row has \(5r\) vehicles. How many vehicles are there in 42 rows?एक पार्किंग व्यवस्था में \(r\)वीं पंक्ति में \(5r\) वाहन हैं। 42 पंक्तियों में कुल कितने वाहन होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 45154515
The number of vehicles in row r is \(5r\). Therefore, for 42 rows, the total is \(5(1+2+\cdots+42)=5S_{42}\). Apply the formula \(S_n=\frac{n(n+1)}2\): \(S_{42}=\frac{42\cdot43}{2}=21\cdot43=903\). Multiplying by the common factor 5 gives \(5\cdot903=4515\). Hence option C is correct. The factor 5 applies to every row, not only to the final row, so it can be taken outside the sum. Options A, B, and D are not equal to five times the sum of the first 42 natural numbers and therefore cannot represent the stated arrangement.\(r\)वीं पंक्ति में \(5r\) वाहन हैं, इसलिए 42 पंक्तियों में कुल वाहनों की संख्या \(5(1+2+\cdots+42)=5S_{42}\) होगी। प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र से \(S_{42}=\frac{42 imes43}{2}=21 imes43=903\)। अब 5 से गुणा करने पर कुल संख्या \(5 imes903=4515\) मिलती है। इसलिए विकल्प C सही है। यहाँ 5 प्रत्येक पंक्ति के वाहनों का समान गुणक है, इसलिए उसे पूरे योग के बाहर लिया जा सकता है। यदि 5 को छोड़ दिया जाए या केवल अंतिम पंक्ति पर लगाया जाए, तो गलत उत्तर आएगा। विकल्प A, B और D \(5S_{42}\) के बराबर नहीं हैं।
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