If Sₙ = 3240, what is the value of Sₙ₊₈ − Sₙ, where Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k?जहाँ Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k है, यदि Sₙ = 3240, तो Sₙ₊₈ − Sₙ का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 676676
Answer: A, 676. The sum of the first n natural numbers is Sₙ = n(n + 1)/2. We need first to identify n. Since 80 × 81/2 = 40 × 81 = 3240, n = 80. Now Sₙ₊₈ − Sₙ means that the common terms from 1 through n cancel, leaving the next eight numbers: 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, and 88. Their sum can be found by the arithmetic-series formula: number of terms × average of first and last = 8 × (81 + 88)/2 = 8 × 169/2 = 676. Therefore option A is correct. Option B, 656, is too small and would come from an incorrect endpoint or arithmetic error. Option C, 696, and option D, 716, similarly do not equal the sum of exactly these eight consecutive terms. Remember: Sₐ − Sᵦ leaves the terms from b + 1 through a, not b through a.उत्तर: A, 676। प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग Sₙ = n(n + 1)/2 होता है। पहले n ज्ञात करते हैं। 80 × 81/2 = 40 × 81 = 3240, इसलिए n = 80 है। अब Sₙ₊₈ − Sₙ में 1 से n तक के समान पद घटकर समाप्त हो जाते हैं। इसलिए केवल अगले आठ पद बचते हैं: 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87 और 88। इनका योग समान्तर श्रेणी के सूत्र से निकाल सकते हैं: पदों की संख्या × प्रथम और अंतिम पद का औसत = 8 × (81 + 88)/2 = 8 × 169/2 = 676। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में योग बहुत कम है और यह सीमा या गणना की गलती से आ सकता है। विकल्प C और D भी इन ठीक आठ पदों का योग नहीं हैं। ध्यान रखें कि Sₐ − Sᵦ में b तक के पद हटते हैं और b + 1 से a तक के पद बचते हैं; यही इस प्रश्न की मुख्य सावधानी है।
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