If Sₙ − S₍ₙ₋₆₎ = 621, where Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k, what is the value of n?जहाँ Sₖ = 1 + 2 + ⋯ + k है, यदि Sₙ − S₍ₙ₋₆₎ = 621, तो n का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 106106
Direct answer: option C, 106. In Sₙ, the terms run from 1 to n; in S₍ₙ₋₆₎, they run from 1 to n − 6. Subtracting cancels all common terms and leaves the six terms n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, and n. Their sum is 6n − (5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0) = 6n − 15. Set this equal to 621: 6n − 15 = 621, so 6n = 636 and n = 106. Option A gives 609, option B gives 615, option C gives 621, and option D gives 627. Therefore C is correct. The common mistake is to write the answer as 6n, forgetting the five offsets below n. Memory cue: subtracting S₍ₙ₋ₖ₎ leaves the last k terms, whose offsets must also be included.सीधा उत्तर: विकल्प C, 106। Sₙ में 1 से n तक के पद होते हैं और S₍ₙ₋₆₎ में 1 से n − 6 तक के पद। घटाने पर समान पद कट जाते हैं और छह अंतिम पद बचते हैं: n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1 और n। इनका योग 6n − (5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0) = 6n − 15 होगा। अब 6n − 15 = 621। दोनों पक्षों में 15 जोड़ने पर 6n = 636 और 6 से भाग देने पर n = 106 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। जाँच में 104 पर 609, 105 पर 615, 106 पर 621 और 107 पर 627 मिलता है। सामान्य भूल केवल 6n लिख देना है, जबकि n से कम होने वाले अंतर 5, 4, 3, 2 और 1 का योग भी घटाना पड़ता है। याद रखें: Sₙ − S₍ₙ₋ₖ₎ में अंतिम k पद बचते हैं।
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