If \(S_u=1431\) and \(S_v=3321\), what is the value of \(u+v\), where \(S_k=1+2+\cdots+k\)?जहाँ \(S_k=1+2+\cdots+k\) है, यदि \(S_u=1431\) और \(S_v=3321\), तो \(u+v\) का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 134134
Use the triangular-number formula \(S_k=\frac{k(k+1)}2\). To identify \(u\), observe that \(S_{53}=\frac{53\cdot54}{2}=53\cdot27=1431\), so \(u=53\). For the second value, \(S_{81}=\frac{81\cdot82}{2}=81\cdot41=3321\), so \(v=81\). Consequently, \(u+v=53+81=134\), which is option A. The positive indices are appropriate because each \(S_k\) is the sum of the first k natural numbers. The other choices do not follow from the two exact triangular-number representations; direct substitution verifies that 53 and 81 are the required indices.प्रथम \(k\) प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र \(S_k=\frac{k(k+1)}2\) है। पहले दिए गए मान के लिए \(S_{53}=\frac{53 imes54}{2}=53 imes27=1431\), इसलिए \(u=53\)। दूसरे मान के लिए \(S_{81}=\frac{81 imes82}{2}=81 imes41=3321\), इसलिए \(v=81\)। अतः \(u+v=53+81=134\), इसलिए विकल्प A सही है। यहाँ सूचकांक धनात्मक होने चाहिए, क्योंकि वे प्रथम प्राकृतिक संख्याओं की संख्या दर्शाते हैं। विकल्प B, C और D तभी आ सकते हैं जब किसी त्रिभुजाकार संख्या का सूचकांक गलत पहचाना जाए; सूत्र में सीधे जाँच करने पर 53 और 81 ही सही मान मिलते हैं।
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