If S_n - S_{n-1} = 84 and S_m = 990, what is n - m?यदि S_n - S_{n-1} = 84 और S_m = 990 है, तो n - m कितना है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 4040
For the sequence of natural numbers, S_k denotes 1 + 2 + ... + k. The essential property of consecutive partial sums is S_n - S_{n-1} = n, because the only term added when moving from S_{n-1} to S_n is n itself. Hence the first condition gives n = 84. For the second condition, S_m = m(m+1)/2 = 990. Multiplying by 2 gives m(m+1) = 1980. The positive integer solution is m = 44, since 44 × 45 / 2 = 990. Therefore n - m = 84 - 44 = 40. Option C is correct. Values 38, 39, and 41 can result from treating the consecutive-sum difference as a different term, solving the quadratic relation incorrectly, or subtracting the indices inaccurately. Both conditions must be interpreted using the same natural-number partial-sum definition.प्राकृतिक संख्याओं के लिए S_k का अर्थ 1 + 2 + ... + k है। क्रमागत आंशिक योगों का महत्वपूर्ण गुण है S_n - S_{n-1} = n, क्योंकि S_{n-1} से S_n जाने पर केवल नया पद n जुड़ता है। इसलिए पहली शर्त से n = 84 प्राप्त होता है। दूसरी शर्त में m(m+1)/2 = 990 है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर m(m+1) = 1980 मिलता है। m = 44 इसका धनात्मक पूर्णांक हल है, क्योंकि 44 × 45 / 2 = 990। अतः n - m = 84 - 44 = 40 होगा। इसलिए विकल्प C सही है। 38, 39 और 41 जैसे उत्तर क्रमागत योगों के अंतर को गलत पद मानने, द्विघात संबंध को गलत हल करने या सूचकांकों का घटाव गलत करने से मिल सकते हैं।
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