If S_n = 1830, what is the value of S_{n+10} - S_n?यदि S_n = 1830 है, तो S_{n+10} - S_n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 655655
The governing concept is the sum of the first n natural numbers: S_n = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. Since S_n = 1830, we have n(n+1)/2 = 1830, so n(n+1) = 3660. The positive integer satisfying this equation is n = 60, because 60 × 61 / 2 = 1830. Therefore, S_{n+10} - S_n = S_70 - S_60. The first 60 terms cancel, leaving only 61 + 62 + ... + 70. This is an arithmetic progression with 10 terms, first term 61, and last term 70. Its sum is 10/2 × (61 + 70) = 5 × 131 = 655. Thus option B is correct. The other choices arise from using an incorrect value of n, counting the new terms incorrectly, or making an addition error.मुख्य अवधारणा पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग की है: S_n = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2। दिए गए S_n = 1830 से n(n+1)/2 = 1830 मिलता है, इसलिए n(n+1) = 3660। इसका धनात्मक पूर्णांक हल n = 60 है, क्योंकि 60 × 61 / 2 = 1830। अतः S_{n+10} - S_n = S_70 - S_60 होगा। दोनों योगों में 1 से 60 तक के पद समान हैं और कट जाते हैं, इसलिए केवल 61 से 70 तक के दस पदों का योग बचता है। यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसका योग 10/2 × (61 + 70) = 5 × 131 = 655 है। इसलिए विकल्प B सही है। अन्य विकल्प n का गलत मान लेने, नए पदों की संख्या गलत गिनने या जोड़ में त्रुटि करने से प्राप्त हो सकते हैं।
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