If (1+2+3+\cdots+n=2556), which is (n)?यदि (1+2+3+\cdots+n=2556) है तो (n) कौन सा होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (71)(71)
The direct answer is option C, 71. The expression 1+2+3+⋯+n is the sum of the first n natural numbers, so use S_n=n(n+1)/2. Set n(n+1)/2=2556 and multiply by 2: n(n+1)=5112. For option C, 71·72=5112, so S_71=71·72/2=71·36=2556. Therefore n=71. Option A, 69, gives S_69=69·70/2=2415, which is too small. Option B, 70, gives S_70=70·71/2=2485, also too small. Option C gives exactly 2556. Option D, 72, gives S_72=72·73/2=2628, which is too large. Since the sum increases strictly as n increases, no other listed value can work. A useful pairing check is 1+72=73, 2+71=73, and so on, but the formula is faster. Memory cue: when the final sum is given, solve n(n+1)=2S_n and test nearby options.सीधा उत्तर विकल्प C, 71 है। \(1+2+3+\cdots+n\) पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाएँ। \(\frac{n(n+1)}{2}=2556\) से \(n(n+1)=5112\) मिलता है। विकल्प C के लिए \(71\cdot72=5112\), इसलिए \(S_{71}=\frac{71\cdot72}{2}=71\cdot36=2556\)। अतः \(n=71\)। विकल्प A, 69 पर \(S_{69}=\frac{69\cdot70}{2}=2415\), जो कम है। विकल्प B, 70 पर \(S_{70}=\frac{70\cdot71}{2}=2485\), फिर भी कम है। विकल्प C ठीक 2556 देता है। विकल्प D, 72 पर \(S_{72}=\frac{72\cdot73}{2}=2628\), जो अधिक है। योग n के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए सूची में कोई दूसरा विकल्प सही नहीं हो सकता। सूत्र सबसे तेज है; चाहें तो जोड़ों से भी जाँच सकते हैं। याद रखें: योग दिया हो तो \(n(n+1)=2S_n\) बनाकर पास के विकल्प जाँचें।
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