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If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, which of the following statements is always true for every natural number \(n\)?यदि \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग को दर्शाता है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन प्रत्येक प्राकृतिक \(n\) के लिए सदैव सत्य है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8S_n+1\) is the square of an odd natural number.\(8S_n+1\) एक विषम प्राकृतिक संख्या का पूर्ण वर्ग है।
Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), the square of an odd number. Option B is not a square for every \(n\). Exam tip: remember the \(8S_n+1\) property of triangular numbers.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) रखने पर \(8S_n+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\) मिलता है, जो विषम संख्या का पूर्ण वर्ग है। विकल्प B हर \(n\) के लिए वर्ग नहीं बनता। परीक्षा टिप: त्रिकोणीय संख्याओं में \(8S_n+1\) वाला गुण याद रखें।
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