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For which positive integers \(n\) is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers exactly divisible by \(n\)?किन धनात्मक पूर्णांकों \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n\), \(n\) से पूर्णतः विभाज्य होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Only odd \(n\)केवल विषम \(n\)
Since \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), we get \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\). This is an integer only when \(n+1\) is even, so \(n\) must be odd. Being prime is not required; \(9\) also works. Exam tip: divide the sum formula by the given divisor first.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), इसलिए \(\frac{S_n}{n}=\frac{n+1}{2}\)। यह पूर्णांक तभी होगा जब \(n+1\) सम हो, अर्थात \(n\) विषम हो। अभाज्य होना आवश्यक नहीं है; जैसे \(9\) भी उपयुक्त है। परीक्षा टिप: विभाज्यता के लिए योग को \(n\) से भाग देकर जाँचें।
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