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If a positive integer \(S\) can be written as the sum of the first \(n\) natural numbers, which of the following quantities must be an odd perfect square?यदि किसी धनात्मक पूर्णांक \(S\) को प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, तो निम्न में से कौन-सी राशि एक विषम पूर्ण वर्ग होनी चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8S+1\)\(8S+1\)
The sum is \(S=\frac{n(n+1)}{2}\). Hence \(8S+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), which is an odd perfect square. Exam tip: use this identity to test whether a number is triangular.प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(8S+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), जो विषम पूर्ण वर्ग है। परीक्षा में इस पहचान से जाँच करें कि कोई संख्या त्रिभुजाकार संख्या है या नहीं।
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