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Which condition is necessary and sufficient for a positive integer \(T\) to be the sum of the first \(n\) natural numbers for some positive integer \(n\)?किसी धनात्मक पूर्णांक \(T\) के, किसी धनात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग होने की आवश्यक और पर्याप्त शर्त कौन-सी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(8T+1\) is an odd perfect square\(8T+1\) is an odd perfect square
If \(T=\frac{n(n+1)}{2}\), then \(8T+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\), which is an odd perfect square. The converse is also true. \(4T+1\) has no such guaranteed form. Exam tip: test \(8T+1\).यदि \(T=\frac{n(n+1)}{2}\), तो \(8T+1=4n(n+1)+1=(2n+1)^2\) होता है, जो विषम पूर्ण वर्ग है। इसका विलोम भी सत्य है। \(4T+1\) के लिए ऐसी निश्चित पहचान नहीं मिलती। परीक्षा में \(8T+1\) जाँचें।
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