What is the ratio of the sums of the first (45) and first (30) natural numbers?पहले (45) और पहले (30) प्राकृतिक संख्याओं के योगों का अनुपात क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 69:3169:31
The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(S_{45}:S_{30}=1035:465=69:31\). The option \(45:30\) is only the ratio of the numbers of terms, not the ratio of their sums. Exam tip: For ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) first and then cancel common factors.पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। इसलिए \(S_{45}:S_{30}=1035:465=69:31\)। विकल्प \(45:30\) केवल पदों की संख्याओं का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों के अनुपात में पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ, फिर समान गुणनखंड काटें।
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