If the sum of the first (n) natural numbers is (1540), what will (n) be?यदि पहली (n) प्राकृतिक संख्याओं का योग (1540) है तो (n) क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (55)(55)
The direct answer is option C, n=55. Use S_n=n(n+1)/2. We are told n(n+1)/2=1540, so n(n+1)=3080. The consecutive numbers 55 and 56 have product 55×56=3080. Therefore n=55. Option A, 53, gives 53×54/2=1431, not 1540. Option B, 54, gives 54×55/2=1485, also too small. Option C works because 55×56/2=1540. Option D, 56, gives 56×57/2=1596, which is too large. The index must be a natural number, and the formula uses two consecutive factors n and n+1, not two equal factors. The correct answer is therefore unambiguous. Memory cue: for a triangular-number sum, match 2S with consecutive numbers.सीधा उत्तर विकल्प C, n=55 है। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग S_n=n(n+1)/2 होता है। यहाँ n(n+1)/2=1540 है, इसलिए n(n+1)=3080। 55 और 56 क्रमागत संख्याएँ हैं तथा 55×56=3080। अतः n=55। विकल्प A, 53, पर 53×54/2=1431 मिलता है, 1540 नहीं। विकल्प B, 54, पर 54×55/2=1485 मिलता है, जो छोटा है। विकल्प C सही है क्योंकि 55×56/2=1540। विकल्प D, 56, पर 56×57/2=1596 आता है, जो बड़ा है। यहाँ n और n+1 दो क्रमागत गुणनखंड होते हैं; उन्हें समान संख्या समझना गलती होगी। इसलिए उत्तर स्पष्ट रूप से 55 है। याद रखें: 2S को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के रूप में पहचानें।
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