If the sum of the first n natural numbers is 561, what is the value of n?यदि पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग 561 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3333
The governing relationship is Sₙ = n(n + 1)/2 for the first n natural numbers. We seek the option whose product with its successor, divided by 2, equals 561. For n = 33, S₃₃ = 33 × 34/2 = 33 × 17 = 561. Therefore n = 33 and option C is correct. The neighboring choices confirm the uniqueness: S₃₂ = 32 × 33/2 = 528, whereas S₃₄ = 34 × 35/2 = 595. Since successive partial sums differ by the next natural number, the target 561 lies exactly at S₃₃. A common error is to use n²/2 or to forget the factor n + 1; the complete formula must be applied.पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए मुख्य सूत्र Sₙ = n(n + 1)/2 है। हमें ऐसा विकल्प चुनना है जिसके लिए इस सूत्र का मान 561 आए। n = 33 रखने पर S₃₃ = 33 × 34/2 = 33 × 17 = 561 प्राप्त होता है। इसलिए n = 33 और विकल्प C सही है। निकटवर्ती विकल्पों से भी पुष्टि होती है: S₃₂ = 32 × 33/2 = 528 तथा S₃₄ = 34 × 35/2 = 595। लगातार दो आंशिक योगों का अंतर अगली प्राकृतिक संख्या के बराबर होता है, इसलिए 561 ठीक S₃₃ पर आता है। सामान्य गलती n²/2 प्रयोग करना या n + 1 को भूल जाना है; सही उत्तर के लिए पूरा सूत्र लगाना आवश्यक है।
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