If the sum of the first n natural numbers is 2701, what is the value of n?यदि पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग 2701 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 7373
Direct answer: n = 73, so option C is correct. The sum of the first n natural numbers is Sₙ = n(n + 1)/2. Set this equal to 2701: n(n + 1)/2 = 2701, so n(n + 1) = 5402. For n = 73, the consecutive product is 73 × 74. Compute it as 73 × (70 + 4) = 5110 + 292 = 5402. Hence S₇₃ = 5402/2 = 2701. The neighboring choices can be rejected by direct calculation: S₇₂ = 72 × 73/2 = 36 × 73 = 2628, while S₇₄ = 74 × 75/2 = 37 × 75 = 2775. Also, S₇₁ = 71 × 72/2 = 2556. Since each next sum adds a positive integer, the values increase strictly, so only 73 can give 2701. Memory cue: double the target sum and search for consecutive factors n and n + 1.सीधा उत्तर: n = 73 है, इसलिए विकल्प C सही है। पहली n प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र Sₙ = n(n + 1)/2 है। इसे 2701 के बराबर रखें: n(n + 1)/2 = 2701, इसलिए n(n + 1) = 5402 होगा। n = 73 के लिए क्रमागत गुणनफल 73 × 74 है। इसे 73 × (70 + 4) = 5110 + 292 = 5402 के रूप में निकाल सकते हैं। अतः S₇₃ = 5402/2 = 2701 और n = 73 है। आसपास के विकल्पों की जाँच करें: S₇₂ = 72 × 73/2 = 36 × 73 = 2628, S₇₄ = 74 × 75/2 = 37 × 75 = 2775 और S₇₁ = 71 × 72/2 = 2556। इनमें केवल 73 वाला योग 2701 है। हर अगला योग एक धनात्मक संख्या जोड़ता है, इसलिए योग लगातार बढ़ता है और दूसरा विकल्प समान परिणाम नहीं दे सकता। स्मरण रखने की युक्ति: दिए गए योग को 2 से गुणा करें और फिर ऐसी दो क्रमागत संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल प्राप्त संख्या हो।
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