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Under which condition is the sum \(S_n\) of the first \(n\) natural numbers odd?प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग \(S_n\) के विषम होने की शर्त कौन-सी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(n\equiv 1\) या \(2\pmod{4}\)\(n\equiv 1\) या \(2\pmod{4}\)
Using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), one of \(n\) and \(n+1\) is even. After division by 2, the product is odd only when \(n\) leaves remainder 1 or 2 on division by 4. Thus, merely calling \(n\) odd or even is insufficient. Exam tip: test residues 0, 1, 2 and 3 modulo 4.\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n\) और \(n+1\) में एक सम होता है। \(n\) को 4 से भाग देने पर शेष 1 या 2 होने पर भाग देने के बाद दोनों गुणनखंड विषम रहते हैं, इसलिए योग विषम होता है। केवल \(n\) का सम या विषम होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: शेषफल 0, 1, 2, 3 जाँचें।
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