If 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 1035, what is the value of n?यदि 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = 1035 है, तो n का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 4545
Direct answer: n = 45, so option C is correct. The left side is the sum of the first n natural numbers, so use Sₙ = n(n + 1)/2. We need n(n + 1)/2 = 1035. Multiplying by 2 gives n(n + 1) = 2070. Try n = 45: 45 × 46 = 2070, and therefore 45 × 46/2 = 45 × 23 = 1035. Thus n = 45. An algebraic check gives n² + n − 2070 = 0, which factors as (n − 45)(n + 46) = 0. The roots are 45 and −46; the negative root cannot represent a number of terms. The distractors are close but fail: S₄₃ = 946, S₄₄ = 990, and S₄₆ = 1081. Because the sum strictly increases as n increases, only one natural-number choice can work. Do not confuse the final term n with the total 1035.सीधा उत्तर: n = 45 है, इसलिए विकल्प C सही है। बायाँ पक्ष पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए Sₙ = n(n + 1)/2 लगाएँ। हमें n(n + 1)/2 = 1035 हल करना है। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर n(n + 1) = 2070 मिलता है। n = 45 रखने पर 45 × 46 = 2070 और 45 × 46/2 = 45 × 23 = 1035 प्राप्त होता है। अतः n = 45 है। बीजगणितीय जाँच के लिए n² + n − 2070 = 0 लिखें। इसका गुणनखंडन (n − 45)(n + 46) = 0 है, इसलिए n = 45 या n = −46। n पदों की संख्या है, इसलिए ऋणात्मक हल स्वीकार्य नहीं है। निकटवर्ती विकल्प सही नहीं हैं: S₄₃ = 946, S₄₄ = 990 और S₄₆ = 1081। n बढ़ने पर योग लगातार बढ़ता है, इसलिए केवल एक प्राकृतिक संख्या ही 1035 दे सकती है। यह भ्रम न करें कि अंतिम पद n ही कुल योग 1035 है; n केवल अंतिम पद या पदों की संख्या को दर्शाता है।
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