If the sum of the first (n) natural numbers is (1035), what is (n)?यदि पहली (n) प्राकृतिक संख्याओं का योग (1035) है तो (n) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (45)(45)
The direct answer is option C, 45. The sum of the first n natural numbers is S_n=n(n+1)/2. Set this equal to 1035: n(n+1)/2=1035, so n(n+1)=2070. Testing option C gives 45·46=2070, hence S_45=45·46/2=45·23=1035. Therefore n=45. Option A gives S_43=43·44/2=946, not 1035. Option B gives S_44=44·45/2=990, also not 1035. Option C gives exactly the required sum. Option D gives S_46=46·47/2=1081, which is too large. Since the sum increases as n increases, once 44 gives less and 46 gives more, 45 is confirmed. A useful check is that the sum of the first 45 numbers is 1+45, 2+44, and so on: 22 pairs of 46 plus the middle 23, giving 1012+23=1035. Memory cue: triangular-number formula is n(n+1)/2.सीधा उत्तर विकल्प C, 45 है। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(\frac{n(n+1)}{2}=1035\), अर्थात \(n(n+1)=2070\)। विकल्प C जाँचें: \(45\cdot46=2070\), इसलिए \(S_{45}=\frac{45\cdot46}{2}=45\cdot23=1035\)। अतः \(n=45\)। विकल्प A पर \(S_{43}=\frac{43\cdot44}{2}=946\), जो कम है। विकल्प B पर \(S_{44}=\frac{44\cdot45}{2}=990\), फिर भी कम है। विकल्प C ठीक 1035 देता है। विकल्प D पर \(S_{46}=\frac{46\cdot47}{2}=1081\), जो अधिक है। योग n के बढ़ने पर बढ़ता है, इसलिए 44 और 46 के बीच 45 का सही होना भी निश्चित होता है। दूसरी जाँच में 1 से 45 तक विपरीत जोड़े 46 के 22 जोड़े और बीच में 23 देते हैं: \(22\cdot46+23=1035\)। याद रखें: triangular number का सूत्र \(n(n+1)/2\) है।
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