For which (n) will (S_n=780)?किस (n) के लिए (S_n=780) होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (39)(39)
The direct answer is option B, n=39. The sum of the first n natural numbers is S_n=n(n+1)/2. We need n(n+1)/2=780. Multiplying by 2 gives n(n+1)=1560. For n=39, 39×40=1560, so S_39=39×40/2=780. Option A, 38, gives 38×39/2=741, so it is too small. Option B works exactly. Option C, 40, gives 40×41/2=820, so it is too large. Option D, 41, gives 41×42/2=861, also too large. Since the sum increases when n increases, checking nearby values is enough after using the formula. A common mistake is forgetting the division by 2 or using n^2 instead of n(n+1)/2. Memory cue: double the sum and look for two consecutive factors.सीधा उत्तर विकल्प B, n=39 है। पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग S_n=n(n+1)/2 होता है। इसलिए n(n+1)/2=780। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर n(n+1)=1560 मिलता है। n=39 रखने पर 39×40=1560, अतः S_39=39×40/2=780। विकल्प A, 38, के लिए 38×39/2=741 आता है, इसलिए वह छोटा है। विकल्प B ठीक 780 देता है। विकल्प C, 40, के लिए 40×41/2=820 आता है, जो बड़ा है। विकल्प D, 41, के लिए 41×42/2=861 आता है, वह भी बड़ा है। n बढ़ने पर योग बढ़ता है, इसलिए सूत्र और पास के मानों से जाँच सरल है। सामान्य गलती 2 से भाग भूलना या n^2 लिख देना है। याद रखें: योग को 2 से गुणा करके दो क्रमागत गुणनखंड खोजें।
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