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Signs of trigonometric functions in different quadrants
In this Class 12 Mathematics topic from the Trigonometric Functions chapter, students learn how the signs of sine, cosine, tangent and their reciprocal functions change across the four quadrants of the Cartesian plane. They connect an angle’s terminal side with the coordinates and reference angle, identify which functions are positive or negative in each quadrant, and apply these rules to simplify expressions, evaluate trigonometric ratios, and check the consistency of solutions.
Medium · Level 1 · 3 questions
TOPIC PRACTICE
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\(-\frac{3}{4}\)
Question 1MediumLevel 1
If θ/π = 1.65 and 0 < θ < 2π, in which quadrant will θ lie?यदि θ/π = 1.65 और 0 < θ < 2π है, तो θ किस चतुर्थांश में होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
The governing concept is locating a radian angle by comparing it with the quadrant boundaries. From θ/π = 1.65, multiply by π to obtain θ = 1.65π. The four quadrants are bounded by 0, π/2, π, 3π/2, and 2π. Since 3π/2 = 1.5π and 1.5π < 1.65π < 2π, the angle lies between 3π/2 and 2π. This interval is the fourth quadrant, so option A is correct. It is not in the third quadrant because that quadrant extends only from π to 3π/2. The given condition 0 < θ < 2π confirms that the angle makes one complete revolution range without reaching either endpoint.यह प्रश्न रेडियन में दिए गए कोण को चतुर्थांशों में स्थित करने की अवधारणा पर आधारित है। θ/π = 1.65 से π से गुणा करने पर θ = 1.65π मिलता है। कोणीय सीमाएँ 0, π/2, π, 3π/2 और 2π हैं। अब 3π/2 = 1.5π तथा 1.5π < 1.65π < 2π है, इसलिए θ, 3π/2 और 2π के बीच स्थित है। यह अंतराल चौथे चतुर्थांश का होता है, अतः विकल्प A सही है। यह तीसरे चतुर्थांश में नहीं है, क्योंकि तीसरा चतुर्थांश π से 3π/2 तक ही रहता है। दी गई शर्त 0 < θ < 2π यह भी बताती है कि कोण एक पूर्ण चक्कर की सीमा के भीतर है और किसी सीमा-बिंदु पर नहीं है।
If x is in the fourth quadrant and \(\cos x=\frac{15}{17}\), what is the value of \(\sin x\)?यदि x चौथे चतुर्थांश में है और \(\cos x=\frac{15}{17}\), तो \(\sin x\) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Use the fundamental identity \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Substituting \(\cos x=15/17\), we obtain \(\sin^2x=1-(15/17)^2=1-225/289=64/289\). Therefore, \(|\sin x|=8/17\). The quadrant determines the sign: in the fourth quadrant, cosine is positive but sine is negative. Hence \(\sin x=-8/17\), so option C is correct. Option A has the right magnitude but the wrong sign; options B and D confuse the sine value with the given cosine value or use an incorrect magnitude. The answer follows from both the identity and the quadrant sign rule.मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\sin^2x+\cos^2x=1\) का प्रयोग करें। \(\cos x=15/17\) रखने पर \(\sin^2x=1-(15/17)^2=1-225/289=64/289\) प्राप्त होता है। इसलिए \(|\sin x|=8/17\) होगा। अब चतुर्थ चतुर्थांश का नियम लगाएँ: इस चतुर्थांश में कोज्या धनात्मक, लेकिन ज्या ऋणात्मक होती है। अतः \(\sin x=-8/17\), इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A में परिमाण सही है, परंतु चिह्न गलत है। विकल्प B और D ज्या के स्थान पर दी गई कोज्या या उसका अनुचित मान दर्शाते हैं। इस प्रकार सर्वसमिका और चतुर्थांश के चिह्न-नियम दोनों मिलकर उत्तर निश्चित करते हैं।
If \(\cos^2 x=\frac{9}{16}\) and x is in the fourth quadrant, what is the value of \(\sin x\)?यदि \(\cos^2 x=\frac{9}{16}\) और x चौथे चतुर्थांश में है, तो \(\sin x\) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Begin with \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Since \(\cos^2x=9/16\), we get \(\sin^2x=1-9/16=7/16\). Taking square roots gives \(|\sin x|=\sqrt7/4\). A square-root step gives two possible signs, so the quadrant information is essential. In the fourth quadrant, sine is negative; therefore \(\sin x=-\sqrt7/4\), which is option B. Option A has the correct magnitude but the wrong sign. Options C and D use \(3/4\), which is the magnitude of cosine, not sine. Thus the identity supplies the magnitude and the quadrant supplies the sign.सर्वसमिका \(\sin^2x+\cos^2x=1\) से शुरुआत करें। \(\cos^2x=9/16\) दिए होने पर \(\sin^2x=1-9/16=7/16\) होगा। वर्गमूल लेने पर \(|\sin x|=\sqrt7/4\) मिलता है। वर्गमूल के कारण धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संभावनाएँ बन सकती हैं, इसलिए चतुर्थांश की सूचना आवश्यक है। चतुर्थ चतुर्थांश में ज्या का मान ऋणात्मक होता है, अतः \(\sin x=-\sqrt7/4\), जो विकल्प B है। विकल्प A में परिमाण तो सही है, पर चिह्न गलत है। विकल्प C और D में \(3/4\) लिया गया है, जो कोज्या का परिमाण है, ज्या का नहीं। इसलिए सर्वसमिका परिमाण और चतुर्थांश चिह्न निर्धारित करता है।
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