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SubjectsMathematics
In this Class 12 Mathematics topic, students study angles as the foundation of Trigonometric Functions. They learn to measure angles in degrees and radians, understand positive and negative directions, and relate angles to points on the unit circle. The topic connects angle measures with the values, signs, domains, and periodic behaviour of sine, cosine, and tangent, helping students interpret trigonometric identities, graphs, and equations accurately.
Hard · Level 6 · 12 questions
TOPIC PRACTICE
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(\frac{11\pi}{10}) lies in the third quadrant. The reference angle is (\frac{11\pi}{10}-\pi=\frac{\pi}{10}).(\frac{11\pi}{10}) तृतीय चतुर्थांश में है। संदर्भ कोण (\frac{11\pi}{10}-\pi=\frac{\pi}{10}) है।
Coterminal angles have the same initial and terminal arms, and their measures differ by a whole multiple of \(360^\circ\). Here, \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), so A is correct. In B, the difference is only \(90^\circ\). Exam tip: check the difference first.सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनके मापों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), इसलिए A सही है। B में अंतर केवल \(90^\circ\) है। परीक्षा में कोणों का अंतर जाँचें।
(12^\circ30'=12.5^\circ=\frac{25}{2}^\circ). In radians it is (\frac{25}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{72}).(12^\circ30'=12.5^\circ=\frac{25}{2}^\circ) होता है। रेडियन में (\frac{25}{2}\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{72}) है।
One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Therefore, the number of revolutions is \(\frac{7\pi}{2}\div 2\pi=\frac{7}{4}\). Hence, the correct answer is \(\frac{7}{4}\) revolutions. \(\frac{3}{2}\) revolutions equals only \(3\pi\) radians, so it is not correct. Exam tip: To convert radians into revolutions, divide the angle by \(2\pi\).एक पूर्ण चक्कर का कोण \(2\pi\) रेडियन होता है। अतः चक्करों की संख्या \(\frac{7\pi}{2}\div 2\pi=\frac{7}{4}\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(\frac{7}{4}\) चक्कर है। \(\frac{3}{2}\) चक्कर केवल \(3\pi\) रेडियन के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रेडियन को चक्करों में बदलने के लिए कोण को हमेशा \(2\pi\) से भाग दें।
Coterminal angles have the same terminal side, so they differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), and \(45^\circ\) lies in the required interval \(0^\circ\le\theta<360^\circ\). Although \(30^\circ\) is nearby, it does not differ from \(-315^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: to express a negative angle in this interval, first add \(360^\circ\).सहप्रारंभी कोणों में \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर भुजा की अंतिम स्थिति नहीं बदलती। अतः \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), और \(45^\circ\) दिए गए अंतराल \(0^\circ\le\theta<360^\circ\) में है। \(30^\circ\) निकट मान हो सकता है, पर वह \(-315^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज का अंतर नहीं रखता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को इसी अंतराल में लाने के लिए पहले \(360^\circ\) जोड़ें।
(4) radians (=4\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx229.2^\circ). Use (\pi\approx3.14) for approximation.(4) रेडियन (=4\times\frac{180^\circ}{\pi}\approx229.2^\circ) है। अनुमान में (\pi\approx3.14) रखें।
For the same arc length (\theta) is inversely proportional to radius. When radius doubles the angle becomes half as (\frac{3\pi}{10}).समान चाप लंबाई के लिए (\theta) त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है। त्रिज्या दुगुनी होने पर कोण आधा होकर (\frac{3\pi}{10}) होगा।
One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Therefore, \(\frac{3}{8}\) of a revolution is \(\frac{3}{8}\times 2\pi=\frac{3\pi}{4}\) radians. \(\frac{\pi}{2}\) represents only \(\frac{1}{4}\) of a revolution, so it is not correct. Exam tip: To convert a fractional revolution into radians, multiply the fraction by \(2\pi\).एक पूर्ण चक्कर का कोण \(2\pi\) रेडियन होता है। अतः उसके \(\frac{3}{8}\) भाग का माप \(\frac{3}{8}\times 2\pi=\frac{3\pi}{4}\) रेडियन होगा। \(\frac{\pi}{2}\) पूर्ण चक्कर के \(\frac{1}{4}\) भाग के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चक्कर के किसी भिन्न भाग को रेडियन में बदलने के लिए उस भिन्न को \(2\pi\) से गुणा करें।
Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Subtract the greatest suitable multiple of \(360^\circ\): \(1440^\circ=4\times360^\circ\). Thus, \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\). Therefore, the least positive coterminal angle is \(50^\circ\). Although \(40^\circ\) is a close distractor, it does not differ from \(1490^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and take the positive remainder.सहप्रारंभी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(1490^\circ\) में से \(360^\circ\) का सबसे बड़ा उपयुक्त गुणज \(1440^\circ=4\times360^\circ\) घटाने पर \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\) मिलता है। अतः सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(50^\circ\) है। \(40^\circ\) निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(1490^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज से भिन्न नहीं है। परीक्षा टिप: किसी कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर प्राप्त धनात्मक शेषफल लें।
In the third quadrant the angle is (\pi+) reference angle. Hence (\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}).तृतीय चतुर्थांश में कोण (\pi+) संदर्भ कोण होता है। इसलिए (\pi+\frac{\pi}{7}=\frac{8\pi}{7}) है।
(405^\circ-45^\circ=360^\circ) so they are coterminal. The difference must be a multiple of (360^\circ).(405^\circ-45^\circ=360^\circ) है इसलिए दोनों सहप्रारंभी हैं। अंतर (360^\circ) का गुणज होना चाहिए।
The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be in radians. \(40^\circ=40\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\) radians. Therefore, \(s=63\times\frac{2\pi}{9}=14\pi\) m. Hence, \(14\pi\) m is correct. A nearby distractor such as \(16\pi\) m can result from an incorrect degree-to-radian conversion or multiplication. Exam tip: always convert the angle to radians before applying the arc-length formula.चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। \(40^\circ=40\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{9}\) रेडियन। अतः \(s=63\times\frac{2\pi}{9}=14\pi\) m। इसलिए सही उत्तर \(14\pi\) m है। \(16\pi\) m जैसी निकटतम भ्रामक राशि गलत कोण-परिवर्तन या गुणा के कारण आ सकती है। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के सूत्र में कोण को हमेशा पहले रेडियन में बदलें।
