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SubjectsMathematics
In this Class 12 Mathematics topic, students study angles as the foundation of Trigonometric Functions. They learn to measure angles in degrees and radians, understand positive and negative directions, and relate angles to points on the unit circle. The topic connects angle measures with the values, signs, domains, and periodic behaviour of sine, cosine, and tangent, helping students interpret trigonometric identities, graphs, and equations accurately.
Hard · Level 2 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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( -\theta=-\frac{5\pi}{4} ), and ( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} ). Add (2\pi) to a negative angle.( -\theta=-\frac{5\pi}{4} ) और ( -\frac{5\pi}{4}+2\pi=\frac{3\pi}{4} ) है। ऋणात्मक कोण में (2\pi) जोड़ें।
To find a principal angle, subtract multiples of \(360^\circ\) from the given angle. Since \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), the principal angle of \(635^\circ\) is \(275^\circ\). In contrast, \(725^\circ-720^\circ=5^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\).किसी कोण का मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए उसमें से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), इसलिए \(635^\circ\) का मुख्य कोण \(275^\circ\) है। \(725^\circ\) में से \(720^\circ\) घटाने पर \(5^\circ\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों का अंतर हमेशा \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है।
Subtracting three complete revolutions, where \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), gives \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\). Now \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\), which lies between \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\); hence its terminal side lies in the second quadrant. The fourth quadrant contains angles between \(\frac{3\pi}{2}\) and \(2\pi\). Exam tip: reduce a large angle by subtracting multiples of \(2\pi\) before identifying its quadrant.\(\frac{41\pi}{6}\) में से \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\) के तीन पूर्ण चक्कर घटाने पर \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) मिलता है। \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) है, जो \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) के बीच स्थित होता है; इसलिए इसकी अंतिम भुजा द्वितीय चतुर्थांश में है। चतुर्थ चतुर्थांश \(\frac{3\pi}{2}\) और \(2\pi\) के बीच के कोणों के लिए होता है। परीक्षा टिप: बड़े कोण को पहले \(2\pi\) के गुणज घटाकर \(0\) से \(2\pi\) के बीच लाएँ।
( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} ), and it is in (0) to (2\pi). First subtract and then check the range.( \theta-\pi=\frac{14\pi}{5}-\frac{5\pi}{5}=\frac{9\pi}{5} ) है और यह (0) से (2\pi) में है। पहले घटाव करें फिर सीमा देखें।
(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}), and its principal angle is ( \frac{\pi}{2} ). Hence the terminal side lies on the positive (y)-axis.(3\theta=\frac{15\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}) और इसका मुख्य कोण ( \frac{\pi}{2} ) है। इसलिए अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर है।
( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ ). Multiply by ( \frac{180^\circ}{\pi} ) to convert radians to degrees.( \frac{7\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=70^\circ ) है। रेडियन से डिग्री में ( \frac{180^\circ}{\pi} ) से गुणा करें।
One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Hence, adding or subtracting \(2n\pi\) from \(\theta\) leaves its terminal arm unchanged. Adding \(n\pi\) generally gives the opposite arm. Exam tip: use \(2\pi\) for coterminal angles.एक पूर्ण घूर्णन का माप \(2\pi\) रेडियन होता है। इसलिए \(\theta\) में \(2n\pi\) जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा नहीं बदलती। \(n\pi\) जोड़ने पर सामान्यतः भुजा विपरीत दिशा में हो जाती है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों के लिए \(2\pi\) याद रखें।
Coterminal angles have the same terminal side because they differ by an integral multiple of \(2\pi\). Here, \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\). Therefore, the terminal side is coterminal with \(\frac{\pi}{4}\). Although \(\frac{\pi}{2}\) may seem close, it represents \(90^\circ\), whereas \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\). Exam tip: reduce an angle to the interval \([0,2\pi)\) by adding or subtracting \(2\pi\) as needed.सहसमापी कोणों में \(2\pi\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा वही रहती है। यहाँ \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)। इसलिए अंतिम भुजा \(\frac{\pi}{4}\) के साथ सहसमापी है। \(\frac{\pi}{2}\) निकट लग सकता है, पर वह \(90^\circ\) है, जबकि \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) होता है। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए आवश्यकतानुसार \(2\pi\) घटाएँ या जोड़ें।
In the third quadrant the principal angle is (180^\circ+35^\circ=215^\circ). Add or subtract the reference angle according to the quadrant.तीसरे चतुर्थांश में मुख्य कोण (180^\circ+35^\circ=215^\circ) होगा। चतुर्थांश के अनुसार संदर्भ कोण जोड़ें या घटाएं।
In the fourth quadrant ( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} ). A full revolution in radians is (2\pi).चतुर्थ चतुर्थांश में ( \theta=2\pi-\frac{\pi}{9}=\frac{17\pi}{9} ) है। रेडियन में पूर्ण चक्कर (2\pi) होता है।
( \frac{7\pi}{9}=140^\circ ), which is greater than (90^\circ), so no positive complementary angle is possible. First make the units same.( \frac{7\pi}{9}=140^\circ ) है जो (90^\circ) से बड़ा है इसलिए धनात्मक संपूरक कोण संभव नहीं है। पहले इकाई समान करें।
( \frac{11\pi}{6}=330^\circ ), and the other angle is (330^\circ-275^\circ=55^\circ). First make the units of both angles the same.( \frac{11\pi}{6}=330^\circ ) और दूसरा कोण (330^\circ-275^\circ=55^\circ) है। पहले दोनों कोणों की इकाई समान करें।
Subtracting one full revolution, \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\). Since \(45^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), the terminal side is in the first quadrant. The positive \(y\)-axis would require an angle of \(90^\circ\), or a coterminal angle. Exam tip: reduce any angle by multiples of \(360^\circ\) before identifying its quadrant or axis.\(765^\circ\) में से एक पूर्ण चक्र \(720^\circ\) घटाने पर \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\) मिलता है। \(45^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है, इसलिए अंतिम भुजा प्रथम चतुर्थांश में होगी। धनात्मक \(y\)-अक्ष के लिए कोण \(90^\circ\) (या उसका सह-अंत कोण) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) के गुणज घटाकर कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाएँ।
The arc-length formula is \(s=r\theta\), where \(\theta\) must be in radians. Thus, \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=12\pi\times\frac{4}{3\pi}=16\) cm. Therefore, option C is correct. An error such as choosing 12 cm can result from dividing incorrectly by \(\frac{3\pi}{4}\). Exam tip: In arc-length questions, first check that the angle is expressed in radians.चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में होना चाहिए। अतः \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{12\pi}{3\pi/4}=12\pi\times\frac{4}{3\pi}=16\) सेमी। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A जैसी त्रुटि तब हो सकती है जब कोण \(\frac{3\pi}{4}\) से भाग देने के चरण को गलत किया जाए। परीक्षा टिप: चाप-लंबाई के प्रश्नों में पहले जाँचें कि कोण रेडियन में दिया गया है।
( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} ), and the reference angle is ( \frac{\pi}{6} ). First bring the negative angle into (0) to (2\pi).( -\frac{13\pi}{6}+\frac{24\pi}{6}=\frac{11\pi}{6} ) और संदर्भ कोण ( \frac{\pi}{6} ) है। ऋणात्मक कोण को पहले (0) से (2\pi) में लाएं।
( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} ), and ( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} ). Subtract multiples of (2\pi).( \frac{4\pi}{3}+3\pi=\frac{13\pi}{3} ) और ( \frac{13\pi}{3}-4\pi=\frac{\pi}{3} ) है। (2\pi) के गुणज घटाएं।
Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), \(285^\circ\) is coterminal with \(-75^\circ\). The difference between \(255^\circ\) and \(-75^\circ\) is \(330^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) to check coterminal angles quickly.सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), इसलिए \(285^\circ\), \(-75^\circ\) के साथ सहसमापी है। \(255^\circ\) का अंतर \(330^\circ\) है, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए कोण में \(360^\circ\) जोड़कर या घटाकर सहसमापी कोण जाँचें।
To convert degrees to radians, multiply by \(\frac{\pi}{180}\): \(250^\circ=250\times\frac{\pi}{180}=\frac{25\pi}{18}\). Hence, \(\frac{x\pi}{18}=\frac{25\pi}{18}\), so \(x=25\). The nearby option 24 is incorrect because it corresponds to \(240^\circ\). Exam tip: remember \(\theta^\circ=\frac{\theta\pi}{180}\) radians.डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए \(\frac{\pi}{180}\) से गुणा करते हैं: \(250^\circ=250\times\frac{\pi}{180}=\frac{25\pi}{18}\)। अतः \(\frac{x\pi}{18}=\frac{25\pi}{18}\), इसलिए \(x=25\)। निकटतम विकल्प 24 गलत है, क्योंकि वह \(240^\circ\) के अनुरूप होता है। परीक्षा टिप: \(\theta^\circ=\frac{\theta\pi}{180}\) रेडियन सूत्र याद रखें।
( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ). Use (180^\circ\div20=9^\circ) and multiply.( \frac{23\pi}{20}\times\frac{180^\circ}{\pi}=207^\circ) है। (180^\circ\div20=9^\circ) लेकर गुणा करें।
Sector area is ( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 ). Use this short formula when arc length is given.त्रिज्यखंड क्षेत्रफल ( \frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}\times6\times9=27 ) है। चाप लंबाई दी हो तो यह छोटा सूत्र लगाएं।
The difference ( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi ), so they are coterminal. In radians, coterminal angles differ by a multiple of (2\pi).अंतर ( \frac{29\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}=2\pi ) है इसलिए वे सहसमापी हैं। रेडियन में सहसमापी अंतर (2\pi) का गुणज होता है।
The direct answer is 67°30′, so option A is correct. A supplementary angle is the angle that makes a straight angle of 180°. Therefore subtract the given angle from 180°: 180°00′−112°30′. Since 0 minutes cannot subtract 30 minutes, borrow 1 degree, which is 60 minutes. Then 179°60′−112°30′=67°30′. Option A, 67°30′, works exactly. Option B, 77°30′, would leave a total of 190°, not 180°. Option C, 57°30′, gives 170° when added to the given angle. Option D, 68°30′, gives 181°, so it is one degree too large. The word supplementary means a total of 180°, while complementary means a total of 90°; confusing these words is a common error. Memory cue: for a supplementary angle, use 180°−θ, and borrow 60 minutes when the minutes of the first angle are zero.सीधा उत्तर 67°30′ है, इसलिए विकल्प A सही है। संपूरक कोण वह कोण होता है जो दिए गए कोण के साथ मिलकर 180° का सीधा कोण बनाता है। इसलिए 180° में से दिए गए कोण को घटाएँ: 180°00′−112°30′। 0 मिनट में से 30 मिनट नहीं घट सकते, इसलिए 1° उधार लें; 1°=60′ होता है। अब 179°60′−112°30′=67°30′। विकल्प A का 67°30′ ठीक यही मान है। विकल्प B का 77°30′ जोड़ने पर कुल 190° आता है, इसलिए गलत है। विकल्प C का 57°30′ जोड़ने पर 170° आता है। विकल्प D का 68°30′ जोड़ने पर 181° आता है, अर्थात 1° अधिक। संपूरक का अर्थ कुल 180° और पूरक का अर्थ कुल 90° होता है; इन दोनों शब्दों को मिलाना सामान्य गलती है। याद रखें: संपूरक कोण के लिए 180°−θ करें और मिनट घटाते समय 60 मिनट का उधार लें।
Add one full turn, \(2\pi\), to the given angle: \(-\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{5\pi}{6}\). This lies between 0 and \(2\pi\), so the answer is \(\frac{5\pi}{6}\).दिए गए कोण में एक पूरा चक्कर, यानी \(2\pi\), जोड़ें: \(-\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{5\pi}{6}\)। यह 0 और \(2\pi\) के बीच है, इसलिए उत्तर \(\frac{5\pi}{6}\) है।
Convert radians to degrees by multiplying by \(\frac{180^\circ}{\pi}\): \(x=\frac{5\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=50^\circ\).रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करें: \(x=\frac{5\pi}{18}\times\frac{180^\circ}{\pi}=50^\circ\)।
Subtract three full turns: \(1180^\circ-3(360^\circ)=100^\circ\). This is in the stated interval, so the coterminal angle is \(100^\circ\).तीन पूरे चक्कर घटाएँ: \(1180^\circ-3(360^\circ)=100^\circ\)। यह दिए गए अंतराल में है, इसलिए सह-प्रारंभिक कोण \(100^\circ\) है।
