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SubjectsMathematics
In this Class 12 Mathematics topic, students study angles as the foundation of Trigonometric Functions. They learn to measure angles in degrees and radians, understand positive and negative directions, and relate angles to points on the unit circle. The topic connects angle measures with the values, signs, domains, and periodic behaviour of sine, cosine, and tangent, helping students interpret trigonometric identities, graphs, and equations accurately.
Easy · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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( \frac{5\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ). Counting in (60^\circ) steps helps with standard angles.( \frac{5\pi}{3}\times \frac{180^\circ}{\pi}=300^\circ) है। मानक कोणों में (60^\circ) की गिनती मदद करती है।
( \frac{11\pi}{6} ) radians is (330^\circ). Take ( \frac{\pi}{6}=30^\circ) and multiply by (11).( \frac{11\pi}{6} ) रेडियन (330^\circ) होता है। ( \frac{\pi}{6} ) को (30^\circ) मानकर (11) गुना करें।
(0^\circ) and (360^\circ) have the same terminal side so they are coterminal. Look for a difference of (360^\circ).(0^\circ) और (360^\circ) की अंतिम भुजा समान होती है इसलिए वे सहसमापी हैं। (360^\circ) के अंतर को पहचानें।
(45^\circ+360^\circ=405^\circ) so it is coterminal. Add or subtract (360^\circ) for coterminal angles.(45^\circ+360^\circ=405^\circ) इसलिए यह सहसमापी कोण है। सहसमापी कोण के लिए (360^\circ) जोड़ें या घटाएं।
Coterminal angles have the same terminal side and differ by an integer multiple of 360°. To obtain a negative angle from 120°, subtract one full revolution: 120° − 360° = −240°. Therefore option B is correct. Adding or subtracting 360° preserves the terminal side, so −240° is coterminal with 120°. Option A is positive and is not obtained by a 360° multiple from 120°; −120° differs by 240°, not 360°; and 480° is positive, although it is a positive coterminal angle because 120° + 360° = 480°. The word negative is essential.सहसमापी कोणों की अंतिम भुजा समान होती है और उनके बीच का अंतर 360° के किसी पूर्णांक गुणज के बराबर होता है। 120° से ऋणात्मक सहसमापी कोण पाने के लिए एक पूर्ण चक्कर घटाएँ: 120° − 360° = −240°। इसलिए विकल्प B सही है। 360° घटाने या जोड़ने से अंतिम भुजा नहीं बदलती, इसलिए −240° और 120° सहसमापी हैं। विकल्प A धनात्मक है और 120° से 360° के पूर्ण गुणज द्वारा प्राप्त नहीं होता; −120° का अंतर 240° है, 360° नहीं; जबकि 480° एक धनात्मक सहसमापी कोण है, क्योंकि 120° + 360° = 480°। प्रश्न में ‘ऋणात्मक’ शब्द निर्णायक है।
Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), so \(330^\circ\) is the positive coterminal angle. \(300^\circ\) has a different terminal side, so it is not coterminal with \(-30^\circ\). Exam tip: To obtain the least positive coterminal angle of a negative angle, add \(360^\circ\).सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। अतः \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), इसलिए \(330^\circ\) धनात्मक सहसमापी कोण है। \(300^\circ\) प्राप्त करने पर अंतिम भुजा अलग होगी, इसलिए वह सहसमापी नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण का सबसे छोटा धनात्मक सहसमापी कोण पाने के लिए उसमें \(360^\circ\) जोड़ें।
Coterminal angles have the same terminal side and differ by an integral multiple of 360°, because 360° represents one complete revolution. Since the required representative must lie between 0° and 360°, reduce 390° by one full revolution: 390° − 360° = 30°. The result is within the stated interval, so option B is correct. Adding or subtracting another 360° would produce 390° or −330°, which do not satisfy the requested interval. Option A and option C do not preserve the terminal side of 390°, while option D is not obtained by a valid reduction. Thus 30° is the unique suitable coterminal angle.सहसमापी कोणों की अंतिम भुजा समान होती है और उनके बीच का अंतर 360° के किसी पूर्णांक गुणज के बराबर होता है, क्योंकि 360° एक पूरा चक्कर दर्शाता है। प्रश्न में कोण को 0° और 360° के बीच रखना है, इसलिए 390° में से एक पूरा चक्कर घटाएँ: 390° − 360° = 30°। प्राप्त 30° दिए गए अंतराल में है, इसलिए विकल्प B सही है। यदि 360° फिर घटाएँ, तो −330° मिलेगा, जो इस अंतराल में नहीं है; और 360° जोड़ने पर 750° मिलेगा। विकल्प A, C और D 390° की समान अंतिम भुजा वाला सही घटाया हुआ मान नहीं देते। अतः 30° ही उपयुक्त सहसमापी कोण है।
Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Here, \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), so \(30^\circ\) is the required angle. \(60^\circ\) is not coterminal because \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: subtract multiples of \(360^\circ\) to reduce an angle to the interval from \(0^\circ\) to \(360^\circ\).सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), इसलिए सही कोण \(30^\circ\) है। \(60^\circ\) सही नहीं है, क्योंकि \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाने के लिए \(360^\circ\) के गुणज घटाइए।
(200^\circ) lies between (180^\circ) and (270^\circ) so it is in the third quadrant. Remember the standard quadrant intervals.(200^\circ) (180^\circ) और (270^\circ) के बीच है इसलिए तृतीय चतुर्थांश में है। चतुर्थांश के लिए मानक सीमाएं याद रखें।
(310^\circ) lies between (270^\circ) and (360^\circ) so it is in the fourth quadrant. Angles after (270^\circ) lie in the fourth quadrant.(310^\circ) (270^\circ) और (360^\circ) के बीच है इसलिए चतुर्थ चतुर्थांश में है। (270^\circ) के बाद वाले कोण चौथे चतुर्थांश में आते हैं।
(25^\circ) lies between (0^\circ) and (90^\circ) so it is in the first quadrant. Small positive angles often lie in the first quadrant.(25^\circ) (0^\circ) और (90^\circ) के बीच है इसलिए प्रथम चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण अक्सर प्रथम चतुर्थांश में होते हैं।
In standard position, an angle begins with its initial ray on the positive x-axis and is measured counterclockwise. A rotation of 90° is one quarter of a complete 360° revolution, so the terminal ray points vertically upward from the origin. The upward direction is the positive y-axis; therefore option C is correct. The positive x-axis corresponds to 0° or 360°, the negative x-axis to 180°, and the negative y-axis to 270°. The terminal ray at 90° lies exactly on an axis, not inside a quadrant. This standard-position sequence also rules out all three distractors.मानक स्थिति में कोण की प्रारम्भिक भुजा धनात्मक x-अक्ष पर रखी जाती है और कोण को वामावर्त दिशा में मापा जाता है। 90° का घुमाव 360° के एक चौथाई चक्कर के बराबर है, इसलिए अंतिम किरण मूलबिंदु से सीधी ऊपर की ओर जाएगी। ऊपर की दिशा धनात्मक y-अक्ष कहलाती है; इसलिए विकल्प C सही है। धनात्मक x-अक्ष 0° या 360° पर, ऋणात्मक x-अक्ष 180° पर और ऋणात्मक y-अक्ष 270° पर मिलता है। 90° किसी चतुर्थांश के अंदर नहीं, बल्कि दो चतुर्थांशों की सीमा पर स्थित अक्ष पर होता है। यही क्रम अन्य विकल्पों को भी स्पष्ट रूप से अस्वीकार करता है।
The governing idea is the standard position of an angle. The initial side begins on the positive x-axis, and positive angles are measured counterclockwise. A rotation of 180° is a half-turn, so the terminal ray points exactly opposite to the initial ray. The direction opposite the positive x-axis is the negative x-axis; therefore option B is correct. The standard axis positions provide a useful check: 0° or 360° lies on the positive x-axis, 90° lies on the positive y-axis, 180° lies on the negative x-axis, and 270° lies on the negative y-axis. Because 180° is an exact multiple of 90°, the terminal side is on an axis, not inside any quadrant. The other options correspond to 90°, 270°, and 0° or 360° respectively.यह प्रश्न कोण की मानक स्थिति और अंतिम भुजा की दिशा पर आधारित है। मानक स्थिति में प्रारम्भिक भुजा धनात्मक x-अक्ष पर होती है और धनात्मक कोण वामावर्त दिशा में मापा जाता है। 180° का घुमाव आधे चक्कर के बराबर है, इसलिए अंतिम किरण प्रारम्भिक किरण की ठीक विपरीत दिशा में पहुँचती है। धनात्मक x-अक्ष की विपरीत दिशा ऋणात्मक x-अक्ष है, इसलिए विकल्प B सही है। मुख्य अक्षीय कोणों का क्रम भी यही बताता है: 0° या 360° पर धनात्मक x-अक्ष, 90° पर धनात्मक y-अक्ष, 180° पर ऋणात्मक x-अक्ष और 270° पर ऋणात्मक y-अक्ष। चूँकि 180° किसी चतुर्थांश के भीतर नहीं, बल्कि एक अक्ष पर स्थित कोण है, इसलिए अन्य विकल्प सही नहीं हो सकते।
In standard position, the initial side lies on the positive x-axis and the angle is measured counterclockwise. Moving through the quarter-turns gives the following sequence: at 90° the terminal side is on the positive y-axis, at 180° it is on the negative x-axis, and at 270° it is on the negative y-axis. Therefore option D is correct. The same conclusion follows from 270° = 3 × 90°, meaning the ray makes three quarter-turns from the positive x-axis. The four reference positions are positive x at 0° or 360°, positive y at 90°, negative x at 180°, and negative y at 270°. Since 270° is an exact multiple of 90°, the terminal side lies on an axis rather than within a quadrant.मानक स्थिति में कोण की प्रारम्भिक भुजा धनात्मक x-अक्ष पर रखी जाती है और कोण को वामावर्त दिशा में मापा जाता है। क्रमशः 90° पर अंतिम भुजा धनात्मक y-अक्ष पर, 180° पर ऋणात्मक x-अक्ष पर और 270° पर ऋणात्मक y-अक्ष पर पहुँचती है। इसलिए विकल्प D सही है। इसे 270° = 3 × 90° के रूप में भी समझ सकते हैं, अर्थात धनात्मक x-अक्ष से तीन चौथाई चक्कर लगाए गए हैं। जाँच के लिए चार मुख्य दिशाएँ याद रखें: 0° या 360° पर धनात्मक x-अक्ष, 90° पर धनात्मक y-अक्ष, 180° पर ऋणात्मक x-अक्ष और 270° पर ऋणात्मक y-अक्ष। चूँकि 270° 90° का पूर्ण गुणज है, अंतिम भुजा किसी चतुर्थांश के अंदर नहीं, बल्कि सीधे एक अक्ष पर स्थित होती है।
To convert radians to degrees multiply by ( \frac{180^\circ}{\pi} ). Remember the direction of the formula.रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए ( \frac{180^\circ}{\pi} ) से गुणा करते हैं। सूत्र की दिशा याद रखें।
To convert degrees to radians multiply by ( \frac{\pi}{180} ). The same rule applies to angles like (75^\circ).डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए ( \frac{\pi}{180} ) से गुणा करते हैं। (75^\circ) जैसे कोणों पर भी यही नियम लागू होता है।
In angular measurement, 1 degree is divided into 60 minutes; that is, \(1^\circ=60'\). Therefore, the correct answer is 60'. Note that 90' equals \(1.5^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Remember \(1^\circ=60'\) and \(1'=60''\).कोणीय माप में 1 डिग्री को 60 मिनट में विभाजित किया जाता है, अर्थात \(1^\circ=60'\)। इसलिए सही उत्तर 60' है। 90' वास्तव में \(1.5^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: कोणों के लिए \(1^\circ=60'\) और \(1'=60''\) याद रखें।
In angular measurement, 1 minute is divided into 60 seconds. Therefore, \(1' = 60''\), so 60'' is correct. 30'' represents half a minute, not one full minute. Exam tip: Remember that \(1^\circ = 60'\) and \(1' = 60''\).कोणीय माप में 1 मिनट को 60 सेकंड में विभाजित किया जाता है। अतः \(1' = 60''\), इसलिए सही उत्तर 60'' है। 30'' आधे मिनट के बराबर होता है, 1 मिनट के नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री-मिनट-सेकंड में \(1^\circ = 60'\) और \(1' = 60''\) याद रखें।
One degree contains \(60'\) (minutes). Therefore, \(2^\circ=2\times60'=120'\), so option C is correct. \(60'\) equals only \(1^\circ\), making it a close but incorrect option. Exam tip: To convert degrees to minutes, multiply the number of degrees by 60.एक डिग्री में \(60'\) (मिनट) होते हैं। अतः \(2^\circ=2\times60'=120'\), इसलिए विकल्प C सही है। \(60'\) केवल \(1^\circ\) के बराबर है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: डिग्री को मिनट में बदलने के लिए डिग्री के मान को 60 से गुणा करें।
In angular measurement, \(1^\circ=60'\). Therefore, converting \(180'\) into degrees gives \(180\div60=3\), so \(180'=3^\circ\). The option \(4^\circ\) is incorrect because it equals \(240'\). Exam tip: divide minutes by 60 to convert them into degrees.कोणीय माप में \(1^\circ=60'\) होता है। इसलिए \(180'\) को डिग्री में बदलने पर \(180\div60=3\) मिलता है, अर्थात \(180'=3^\circ\)। \(4^\circ\) के बराबर \(240'\) होते हैं, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: मिनट को डिग्री में बदलने के लिए 60 से भाग दें।
( \frac{\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=15^\circ). Dividing (180^\circ) by the denominator is an easy method.( \frac{\pi}{12}\times \frac{180^\circ}{\pi}=15^\circ) होता है। हर से (180^\circ) को भाग देना आसान तरीका है।
(225^\circ=\frac{225\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}). Multiply by ( \frac{\pi}{180} ) to convert degrees to radians.(225^\circ=\frac{225\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}) है। डिग्री से रेडियन में ( \frac{\pi}{180} ) से गुणा करें।
(135^\circ) lies between (90^\circ) and (180^\circ) so it is in the second quadrant. Remember the interval to decide the position.(135^\circ) (90^\circ) और (180^\circ) के बीच है इसलिए द्वितीय चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति तय करने के लिए सीमा याद रखें।
Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), the coterminal angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) is \(60^\circ\). \(90^\circ\) is a different angle and cannot be obtained from \(420^\circ\) by adding or subtracting a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) until the angle lies in the required interval.सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। क्योंकि \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), इसलिए \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच इसका सहसमापी कोण \(60^\circ\) है। \(90^\circ\) एक अलग कोण है और उसे \(420^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज को जोड़कर या घटाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता। परीक्षा टिप: कोण को दिए गए अंतराल में लाने के लिए \(360^\circ\) जोड़ें या घटाएँ।
One degree contains 60 minutes, i.e. \(1^\circ=60'\). Therefore, \(3^\circ=3\times60'=180'\). The nearby option 150' equals \(2.5^\circ\), not 3°. Exam tip: multiply degrees by 60 to convert them into minutes.एक डिग्री में 60 मिनट होते हैं, अर्थात् \(1^\circ=60'\)। इसलिए \(3^\circ=3\times60'=180'\) होगा। 150' निकट का विकल्प है, पर वह \(2.5^\circ\) के बराबर होता है, 3° के नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री को मिनट में बदलने के लिए डिग्री को 60 से गुणा करें।
