Which statement about two transitive relations R and S on the same set is not necessarily true?एक ही समुच्चय पर दो संक्रामक संबंध R और S के बारे में कौन-सा कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: R∪S is transitiveR∪S is transitive
Direct answer: B. The union of two transitive relations need not be transitive. Take R={(1,2)} and S={(2,3)}. Each relation is transitive because neither contains a pair of consecutive links within itself. But R∪S contains (1,2) and (2,3) without containing (1,3), so the union is not transitive. Option A is always true: if two pairs are in R∩S, they are in both R and S, so both transitivity conditions produce (a,c), which remains in the intersection. Option C is true because when R=S, R∩S=R, already transitive. Option D is true vacuously: the empty relation has no two pairs that could violate transitivity. Common confusion: intersections preserve transitivity, but unions can combine a first link from one relation with a second link from the other.सीधा उत्तर: B। दो संक्रामक संबंधों का संघ आवश्यक रूप से संक्रामक नहीं होता। उदाहरण लें R={(1,2)} और S={(2,3)}। प्रत्येक संबंध अकेले संक्रामक है, क्योंकि उसमें दो लगातार युग्मों की ऐसी श्रृंखला नहीं है जिसे आगे किसी युग्म की आवश्यकता हो। लेकिन R∪S में (1,2) और (2,3) हैं तथा (1,3) नहीं है; इसलिए संघ संक्रामक नहीं है। विकल्प A हमेशा सत्य है: R∩S में उपस्थित दोनों युग्म R और S दोनों में होते हैं, इसलिए दोनों संबंधों की संक्रामकता से (a,c) दोनों में मिलता है और प्रतिच्छेद में भी रहता है। विकल्प C सत्य है क्योंकि R=S होने पर R∩S=R, और R पहले से संक्रामक है। विकल्प D भी सत्य है; रिक्त संबंध में ऐसे दो युग्म ही नहीं होते जो संक्रामकता का उल्लंघन करें, इसलिए यह रिक्त रूप से संक्रामक है। सामान्य भ्रम: प्रतिच्छेद संक्रामकता को बनाए रखता है, पर संघ में पहली और दूसरी कड़ी अलग-अलग संबंधों से आ सकती हैं।
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