On A = {1, 2, 3}, let R = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3)}. Is R transitive?समुच्चय A = {1, 2, 3} पर R = {(1,2), (2,2), (2,3), (1,3)} संबंध दिया गया है। क्या R संक्रमणीय है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Yesहाँ
A relation R is transitive when, for every a, b, c in A, the presence of (a,b) and (b,c) guarantees the presence of (a,c). Here, (1,2) and (2,3) require (1,3), and (1,3) is present. The pair (2,2) also creates checks such as (2,2) followed by (2,3), which requires (2,3), already included, and (2,2) followed by itself, which requires (2,2), also included. No other available pair creates a missing consequence. Therefore R satisfies the transitivity condition. Option B is incorrect because it overlooks the required pair that is already present. Options C and D describe different properties and do not answer the transitivity question.किसी संबंध R को संक्रमणीय तब कहा जाता है जब A के प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि (a,b) और (b,c) संबंध में हों, तो (a,c) भी संबंध में होना चाहिए। यहाँ (1,2) और (2,3) से (1,3) की आवश्यकता होती है और (1,3) दिया हुआ है। (2,2) को भी जाँचना आवश्यक है। (2,2) और (2,3) से (2,3) ही मिलता है, जो पहले से उपस्थित है; (2,2) और (2,2) से (2,2) मिलता है, वह भी उपस्थित है। उपलब्ध सभी युग्मों की जाँच के बाद कोई आवश्यक युग्म छूटा नहीं है। इसलिए R संक्रमणीय है और सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प B गलत है, जबकि C परावर्तिता और D सममिति को दर्शाते हैं, संक्रमणीयता को नहीं।
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