Which statement is false?कौन-सा कथन गलत है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Every symmetric relation is necessarily transitiveहर सममित संबंध आवश्यक रूप से संक्रमणीय होता है
Symmetry and transitivity are different relation properties. Symmetry requires a reverse pair: (a,b) in R implies (b,a) in R. Transitivity requires that whenever (a,b) and (b,c) are in R, the pair (a,c) must also be in R. One property does not generally imply the other. For example, on {1,2}, R = {(1,2),(2,1)} is symmetric, but it is not transitive because (1,2) and (2,1) would require (1,1), which is absent. The identity relation is transitive, the empty relation is vacuously transitive, and the universal relation is transitive because all possible pairs are present. Therefore option A is the false statement.सममितता और संक्रमणीयता संबंध के दो अलग-अलग गुण हैं। सममितता में (a,b) ∈ R होने पर (b,a) ∈ R होना चाहिए। संक्रमणीयता में (a,b) और (b,c) के R में होने पर (a,c) का R में होना आवश्यक है। इनमें से कोई एक गुण सामान्यतः दूसरे को सुनिश्चित नहीं करता। उदाहरण के लिए, समुच्चय {1,2} पर R = {(1,2),(2,1)} सममित है, पर संक्रमणीय नहीं, क्योंकि (1,2) और (2,1) से (1,1) आवश्यक होगा, जबकि वह R में नहीं है। पहचान संबंध संक्रमणीय है, रिक्त संबंध शून्य मामलों के कारण संक्रमणीय है और सार्वत्रिक संबंध में सभी आवश्यक युग्म होने से संक्रमणीय है। इसलिए गलत कथन A है।
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