If R and S are transitive relations on A, which implication proves that R∩S is transitive?यदि A पर R और S संक्रामक संबंध हैं, तो कौन सा निहितार्थ सिद्ध करता है कि R∩S संक्रामक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (a,b),(b,c)∈R∩S ⇒ (a,c)∈R∩S(a,b),(b,c)∈R∩S ⇒ (a,c)∈R∩S
Direct answer: A. To prove that a relation T is transitive, we must show that whenever (a,b) and (b,c) belong to T, the pair (a,c) also belongs to T. Let T=R∩S. If the first two pairs are in R∩S, each is in both R and S. Since R is transitive, (a,c)∈R; since S is transitive, (a,c)∈S. Therefore (a,c) lies in R∩S, exactly as option A states. Option B is the definition of symmetry, not transitivity. Option C expresses reflexivity and is not required. Option D says the intersection is universal, which is much stronger and need not hold. A useful proof cue is “intersection means satisfy both”: apply transitivity in both relations, then intersect the conclusions.सीधा उत्तर: A। किसी संबंध T की संक्रामकता सिद्ध करने के लिए यह दिखाना होता है कि यदि (a,b) और (b,c), T में हैं, तो (a,c) भी T में है। यहाँ T=R∩S है। यदि पहले दोनों युग्म R∩S में हैं, तो वे R और S दोनों में उपस्थित हैं। R की संक्रामकता से (a,c)∈R मिलता है और S की संक्रामकता से (a,c)∈S मिलता है। इसलिए (a,c) दोनों में है, अर्थात (a,c)∈R∩S। यही विकल्प A का निहितार्थ है। विकल्प B सममितता बताता है, संक्रामकता नहीं। विकल्प C परावर्तिता की शर्त है और आवश्यक नहीं। विकल्प D कहता है कि संबंध सार्वत्रिक है, जो बहुत मजबूत शर्त है और दिए गए तथ्यों से नहीं निकलती। स्मरण सूत्र: प्रतिच्छेद में युग्म दोनों संबंधों में होते हैं, इसलिए दोनों में संक्रामकता लगाकर निष्कर्ष फिर प्रतिच्छेद में मिलता है।
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