For R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)} on A={1,2,3,4}, which missing ordered pair directly witnesses that R is not transitive?A={1,2,3,4} पर R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)} के लिए कौन सा अनुपस्थित क्रमित युग्म सीधे दिखाता है कि R संक्रामक नहीं है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1,4)(1,4)
The correct answer is B, (1,4). To disprove transitivity, find two pairs (a,b) and (b,c) that are present while (a,c) is absent. Here (1,2) belongs to R and (2,4) also belongs to R. Therefore transitivity would require (1,4), but (1,4) is missing. This is a direct counterexample. A is not forced by any useful chain through the listed pairs, and C is not forced by a chain beginning at 3. D is actually not the required composite pair for the forward chain 1→2→4; although (4,2) is present, it does not replace (1,4). The relation is symmetric because reverse pairs are included, but symmetry alone does not guarantee transitivity. Always follow the arrows in order: a→b and b→c demand a→c.सही उत्तर B, (1,4) है। संक्रामकता को गलत सिद्ध करने के लिए ऐसे दो युग्म खोजते हैं, (a,b) और (b,c), जो संबंध में हों, जबकि उनसे बनने वाला (a,c) अनुपस्थित हो। यहाँ (1,2) संबंध में है और (2,4) भी संबंध में है। इसलिए संक्रामकता के अनुसार (1,4) होना चाहिए था, लेकिन वह दिया नहीं गया है। यही सीधा प्रतिउदाहरण है। A किसी आवश्यक दो-चरणीय श्रृंखला से प्राप्त नहीं होता और C के लिए 3 से शुरू होने वाली ऐसी श्रृंखला नहीं है। D, 1→2→4 वाली श्रृंखला का अंतिम युग्म नहीं है; (4,1) का होना इस आवश्यकता को पूरा नहीं करता। संबंध सममित है क्योंकि विपरीत युग्म दिए गए हैं, पर सममितता से संक्रामकता स्वतः नहीं आती। स्मरण रखें: तीरों को क्रम से पढ़ें—a से b और b से c होने पर a से c अनिवार्य होना चाहिए।
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