If R and S are transitive relations on the same set, which statement about their union R∪S is always valid?यदि एक ही समुच्चय पर R और S संक्रामक संबंध हैं, तो उनके संघ R∪S के बारे में कौन सा कथन सदैव सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: R∪S need not be transitiveR∪S का संक्रामक होना आवश्यक नहीं है
The correct answer is B. Transitivity requires that whenever (a,b) and (b,c) belong to the relation, (a,c) must also belong to it. In a union, the first pair may come from R and the second from S, but neither relation individually is required to contain the composite pair. For example, on {1,2,3}, let R={(1,2)} and S={(2,3)}. Each relation is transitive: there is no complete two-step chain inside either one. However, R∪S={(1,2),(2,3)} does not contain (1,3), so it is not transitive. A is disproved by this example. C is false because the union can contain pairs. D is unrelated and is not guaranteed; a transitive relation may contain reverse pairs. Thus only B is always valid.सही उत्तर B है। संक्रामकता का अर्थ है कि यदि (a,b) और (b,c) संबंध में हों, तो (a,c) भी संबंध में होना चाहिए। संघ R∪S में पहला युग्म R से और दूसरा S से आ सकता है। R और S के अलग-अलग संक्रामक होने से यह आवश्यक नहीं होता कि संयुक्त युग्म किसी एक संबंध में पहले से मौजूद हो। उदाहरण के लिए, {1,2,3} पर R={(1,2)} और S={(2,3)} लें। दोनों संबंध संक्रामक हैं, क्योंकि प्रत्येक में ऐसा पूरा दो-चरणीय क्रम नहीं है जिसकी जाँच करनी पड़े। लेकिन संघ {(1,2),(2,3)} में (1,3) नहीं है, इसलिए संघ संक्रामक नहीं है। A इसी कारण गलत है। C गलत है क्योंकि संघ में युग्म हो सकते हैं। D भी अनिवार्य नहीं है, क्योंकि प्रति-सममितता का संक्रामकता से सीधा निष्कर्ष नहीं निकलता। अतः B ही सदैव सही कथन है।
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