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In Class 12 Mathematics, under Relations and Functions, students study a reflexive relation as a relation R on a set A in which every element is related to itself: (a, a) ∈ R for every a ∈ A. They learn to verify this condition from ordered pairs, tables, matrices, and arrow diagrams, and to identify examples and non-examples. The topic also helps students distinguish reflexivity from other relation properties such as symmetry and transitivity.
Expert · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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(\binom{12}{3})
(\binom{16}{7})
(2^7)
(\binom{7}{4})
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(\binom{20}{6})
(\binom{25}{6})
(2^{20})
(\binom{6}{5})
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(\binom{n^2-n}{2})
(2^{n^2-n})
(\binom{n^2}{n+2})
(n^2-n)
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(511)
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(2^{12}-1)
(2^{16}-1)
(2^{12})
(12)
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(2^{10})
(2^{11})
(2^{12})
(2^8)
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(63)
(64)
(6)
(2^9)
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(\binom{12}{5})
(\binom{16}{9})
(\binom{9}{4})
(2^9)
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1
5
10
(2^5)
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12
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3
6
8
9
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6
7
8
3
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Yes
No
Only for (S)
Only for empty set
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It is reflexive
It is not reflexive
Only for empty set
It is universal
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Reflexive
Not reflexive
Empty
Only proper subset relation
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1
2
3
4
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Yes
No
Yes only for (2,3,4,5)
Yes only for (1)
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Reflexive
Not reflexive
Only for (16)
Empty
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Yes
No
Only for (1)
Only for (8)
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2
3
4
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0
1
2
4
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It is reflexive
It is not reflexive
Only for (0)
It is universal
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3
5
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2
3
4
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For every (a), (a-a=0) and (0) is divisible by (6)
Because every (a) is divisible by (6)
Because (A) contains (6)
Because all pairs are different
Question 1ExpertLevel 4
How many reflexive relations with exactly (7) ordered pairs are possible on a four-element set (A)?चार तत्वों वाले समुच्चय (A) पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ठीक (7) युग्म हों?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a four-element set, (4) diagonal pairs are compulsory. Step 2: To have exactly (7) pairs, choose (3) non-diagonal pairs. Step 3: There are (16-4=12) non-diagonal pairs, so the number is (\binom{12}{3}).चरण 1: चार तत्वों पर (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (7) युग्म चाहिए, इसलिए (3) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (16-4=12) हैं, इसलिए संख्या (\binom{12}{3}) है।
On a five-element set, how many reflexive relations have exactly (6) more pairs than the minimum possible number?पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें न्यूनतम संख्या से ठीक (6) अधिक युग्म हों?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs. Step 2: Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs. Step 3: There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is (\binom{20}{6}).चरण 1: पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। चरण 2: न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या (\binom{20}{6}) है।
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations have exactly (n+2) ordered pairs?यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs. Step 2: To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs. Step 3: Since there are (n^2-n) non-diagonal pairs, the number is (\binom{n^2-n}{2}).चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (n^2-n) हैं, अतः संख्या (\binom{n^2-n}{2}) है।
On a three-element set, how many relations are reflexive but not the universal relation?तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और सार्वत्रिक संबंध नहीं हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a three-element set, the number of reflexive relations is (2^{9-3}=2^6=64). Step 2: This count includes the universal relation. Step 3: Excluding the universal relation gives (64-1=63).चरण 1: तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या (2^{9-3}=2^6=64) है। चरण 2: इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। चरण 3: सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं।
On a four-element set, how many relations are reflexive and different from the identity relation?चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और पहचान संबंध से अलग हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a four-element set, the number of reflexive relations is (2^{16-4}=2^{12}). Step 2: The identity relation is one of them. Step 3: Removing it leaves (2^{12}-1) relations.चरण 1: चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या (2^{16-4}=2^{12}) है। चरण 2: पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। चरण 3: पहचान संबंध को हटाने पर (2^{12}-1) संबंध मिलते हैं।
If (A={1,2,3,4}), how many reflexive relations must contain ((1,2)) and must not contain ((2,1))?यदि (A={1,2,3,4}) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) अवश्य हो और ((2,1)) अवश्य न हो?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The (4) diagonal pairs are compulsory. Step 2: Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden. Step 3: The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving (2^{10}) relations.चरण 1: (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। चरण 3: बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या (2^{10}) है।
On a three-element set, how many reflexive relations contain at least one non-diagonal pair?तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म हो?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On a three-element set, there are (2^6=64) reflexive relations. Step 2: The only one with no non-diagonal pair is the identity relation. Step 3: Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63).चरण 1: तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध (2^6=64) हैं। चरण 2: जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। चरण 3: इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे।
On (A={1,2,3,4}), (R) is reflexive and has exactly (9) pairs. How many such relations are possible?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R) प्रतिवर्ती है और (R) में ठीक (9) युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The four diagonal pairs are compulsory. Step 2: To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs. Step 3: Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives (\binom{12}{5}).चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: (12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके (\binom{12}{5}) हैं।
If (A={1,2,3,4,5}), how many reflexive relations have no non-diagonal pair?यदि (A={1,2,3,4,5}) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कोई भी अविकर्ण युग्म न हो?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A reflexive relation must contain all five diagonal pairs. Step 2: If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation. Step 3: Therefore only (1) such relation exists.चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। चरण 3: ऐसा संबंध केवल (1) है।
On (A={1,2,3,4}), (R) is a relation containing every ((a,a)) and missing exactly two non-diagonal pairs. How many total pairs does (R) have?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें हर ((a,a)) है और केवल दो अविकर्ण युग्म नहीं हैं। (R) के कुल कितने युग्म होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: (A\times A) has (16) pairs. Step 2: Exactly two non-diagonal pairs are missing while all diagonal pairs are present. Step 3: Hence the total number of pairs is (16-2=14).चरण 1: (A\times A) में कुल (16) युग्म हैं। चरण 2: केवल दो अविकर्ण युग्म अनुपस्थित हैं और सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए कुल युग्म (16-2=14) होंगे।
If (S={1,2,3}) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), (R={(X,Y):X\subseteq Y}). How many diagonal pairs are in (R)?यदि (S={1,2,3}) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर (R={(X,Y):X\subseteq Y}) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: (\mathcal{P}(S)) has (2^3=8) elements. Step 2: Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation. Step 3: Therefore the number of diagonal pairs is (8).चरण 1: (\mathcal{P}(S)) में (2^3=8) तत्व होते हैं। चरण 2: हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। चरण 3: अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है।
If (S={1,2,3}) and (A=\mathcal{P}(S)). (R={(X,Y):X\cap Y=\varnothing}). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?यदि (S={1,2,3}) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (R={(X,Y):X\cap Y=\varnothing}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: (A) has (8) sets, so (8) diagonal pairs are needed. Step 2: On the diagonal, (X\cap X=X), which is empty only when (X=\varnothing). Step 3: One diagonal pair is already present, so (8-1=7) must be added.चरण 1: (A) में (8) समुच्चय हैं, इसलिए (8) विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: विकर्ण पर (X\cap X=X), जो रिक्त तभी है जब (X=\varnothing)। चरण 3: एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (8-1=7) जोड़ने होंगे।
For (S={1,2,3}) and (A=\mathcal{P}(S)), (R={(X,Y):X\cup Y=X}). Is (R) reflexive?समुच्चय (S={1,2,3}) और (A=\mathcal{P}(S)) पर (R={(X,Y):X\cup Y=X}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For reflexivity, put (Y=X). Step 2: Then (X\cup X=X), which is true for every set. Step 3: Hence every ((X,X)) belongs to the relation.चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (Y=X) रखें। चरण 2: तब (X\cup X=X), जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है।
If (S={1,2}) and (A=\mathcal{P}(S)). (R={(X,Y):X\setminus Y=\varnothing}). Which statement about (R) is correct?यदि (S={1,2}) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (R={(X,Y):X\setminus Y=\varnothing}) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On the diagonal, (X\setminus X=\varnothing). Step 2: Removing a set from itself gives the empty set. Step 3: Therefore all diagonal pairs are in the relation.चरण 1: विकर्ण पर (X\setminus X=\varnothing) होता है। चरण 2: किसी समुच्चय से वही समुच्चय हटाने पर रिक्त समुच्चय मिलता है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं।
On (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}), (R={(X,Y):X\subset Y\text{ or }X=Y}). What is (R) with respect to reflexivity?समुच्चय (A={\varnothing,{1},{2},{1,2}}) पर (R={(X,Y):X\subset Y\text{ या }X=Y}) है। (R) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On the diagonal, (X=Y) is true. Step 2: The or condition includes every ((X,X)) through the equality part. Step 3: Therefore the relation is reflexive.चरण 1: विकर्ण पर (X=Y) सत्य होता है। चरण 2: या वाली शर्त में (X=Y) वाला भाग हर ((X,X)) को शामिल कर देता है। चरण 3: इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है।
If (A=\mathcal{P}({1,2})) and (R={(X,Y):X\triangle Y=X}), how many diagonal pairs are in (R)?यदि (A=\mathcal{P}({1,2})) और (R={(X,Y):X\triangle Y=X}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On the diagonal, (X\triangle X=\varnothing). Step 2: The condition (X\triangle X=X) holds only when (X=\varnothing). Step 3: Hence only ((\varnothing,\varnothing)) is a diagonal pair.चरण 1: विकर्ण पर (X\triangle X=\varnothing) होता है। चरण 2: शर्त (X\triangle X=X) तभी सत्य होगी जब (X=\varnothing)। चरण 3: इसलिए केवल ((\varnothing,\varnothing)) विकर्ण युग्म है।
On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a) and (b) have a common factor greater than (1)(}). Is (R) reflexive?समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a) और (b) का समान गुणनखंड (1) से बड़ा है(}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: Reflexivity also requires ((1,1)). Step 2: The number (1) has no factor greater than (1). Step 3: Missing even one diagonal pair makes the relation non-reflexive.चरण 1: प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी संबंध में होना चाहिए। चरण 2: (1) का (1) से बड़ा कोई गुणनखंड नहीं है। चरण 3: एक विकर्ण युग्म गायब होने से संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता।
If (A={2,4,8,16}) and ((a,b)\in R) if both (a) and (b) are divisible by a common power of (2), what is (R) with respect to reflexivity?यदि (A={2,4,8,16}) और ((a,b)\in R) तभी जब (a) और (b) दोनों किसी समान (2) की घात से विभाज्य हों, तो (R) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Every (a\in A) is divisible by some power of (2). Step 2: In ((a,a)), both entries are the same, so they share that same power. Step 3: Therefore all diagonal pairs are present.चरण 1: हर (a\in A) स्वयं किसी न किसी (2) की घात से विभाज्य है। चरण 2: ((a,a)) में दोनों तत्व वही हैं, इसलिए वे वही समान घात साझा करते हैं। चरण 3: अतः सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं।
On (A={1,2,4,8}), (R={(a,b):\text{the ratio of }a\text{ and }b\text{ is an integral power of }2}). Is (R) reflexive?समुच्चय (A={1,2,4,8}) पर (R={(a,b):a\text{ और }b\text{ का अनुपात }2\text{ की पूर्णांक घात है}}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For reflexivity, put (a=b). Step 2: Then the ratio is (\frac{a}{a}=1=2^0), an integral power of (2). Step 3: Hence every ((a,a)) belongs to the relation.चरण 1: प्रतिवर्ती जांच में (a=b) रखें। चरण 2: तब अनुपात (\frac{a}{a}=1=2^0) होता है, जो (2) की पूर्णांक घात है। चरण 3: इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है।
If (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b):a+b\leq ab}), how many diagonal pairs are in (R)?यदि (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b):a+b\leq ab}) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: On the diagonal, the condition becomes (2a\leq a^2). Step 2: Since (a>0), this becomes (2\leq a). Step 3: (a=2,3,4,5) work, so there are (4) diagonal pairs.चरण 1: विकर्ण पर शर्त (2a\leq a^2) बनेगी। चरण 2: (a>0) होने से इसे (2\leq a) लिखा जा सकता है। चरण 3: (a=2,3,4,5) काम करते हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म हैं।
On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a+b\leq ab}). How many pairs must be added to make (R) reflexive?समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a+b\leq ab}) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: On the diagonal, the condition is (2a\leq a^2). Step 2: This fails for (a=1) and holds for (a=2,3,4,5). Step 3: Therefore only ((1,1)) must be added.चरण 1: पिछले विचार से विकर्ण पर (2a\leq a^2) चाहिए। चरण 2: यह (a=1) पर असत्य है और (a=2,3,4,5) पर सत्य है। चरण 3: इसलिए केवल ((1,1)) जोड़ना होगा।
If (A={0,1,2,3}) and (R={(a,b):a^3-b^3=0}), which statement about (R) is correct?यदि (A={0,1,2,3}) और (R={(a,b):a^3-b^3=0}) है, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On the diagonal, (a^3-a^3=0). Step 2: This is true for every (a\in A). Step 3: Therefore all diagonal pairs are in the relation, so (R) is reflexive.चरण 1: विकर्ण पर (a^3-a^3=0) होगा। चरण 2: यह हर (a\in A) के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी विकर्ण युग्म संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है।
On (A={0,1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2=a+b}). How many diagonal pairs are in (R)?समुच्चय (A={0,1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2=a+b}) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: On the diagonal, (2a^2=2a). Step 2: This becomes (a^2=a), i.e. (a(a-1)=0). Step 3: (a=0,1) work, so there are (2) diagonal pairs.चरण 1: विकर्ण पर (2a^2=2a) मिलेगा। चरण 2: इसे (a^2=a), यानी (a(a-1)=0) लिखते हैं। चरण 3: (a=0,1) काम करते हैं, इसलिए (2) विकर्ण युग्म हैं।
If (A={0,1,2,3,4}) and (R={(a,b):a^2+b^2=a+b}), how many pairs must be added to make (R) reflexive?यदि (A={0,1,2,3,4}) और (R={(a,b):a^2+b^2=a+b}) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: A reflexive relation on this five-element set needs five diagonal pairs. Step 2: The condition gives diagonal pairs only for (a=0) and (a=1). Step 3: Hence (5-2=3) diagonal pairs must be added.चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। चरण 2: शर्त में केवल (a=0) और (a=1) वाले विकर्ण युग्म मिलते हैं। चरण 3: इसलिए (5-2=3) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे।
On (A={1,2,3,4,5,6}), (R={(a,b):a-b\text{ is divisible by }6}). What is the basis for (R) being reflexive?समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):a-b\text{ }6\text{ से विभाज्य है}}) है। (R) का प्रतिवर्ती होना किस बात पर आधारित है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For reflexivity, check ((a,a)). Step 2: Then (a-a=0), and (0) is divisible by (6). Step 3: In difference-divisibility relations, the diagonal difference is always zero.चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) देखें। चरण 2: तब (a-a=0) होता है, और (0) (6) से विभाज्य है। चरण 3: अंतर की विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा शून्य होता है।
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