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In this Class 12 Mathematics topic from Relations and Functions, students learn that a one-one (injective) function maps different elements of its domain to different elements of its codomain. They practise checking this property through ordered pairs, mappings, tables, graphs, and algebraic expressions, while distinguishing one-one functions from many-one functions. The topic also builds understanding of composition and explains why a one-one function is important when studying inverse functions, with clear connections among domain, range, and codomain.
Hard · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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25 questions
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(f) is not one-one
(f) is one-one
(f) is defined only at (x=2)
The range of (f) is empty
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Because (f(x)=0) for every (x<0)
Because (f(x)=0) for every (x>0)
Because (f(0)) is not defined
Because it is always negative
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(f) is one-one
(f) is not one-one because it is periodic
(f) is constant
(f) is defined only on integers
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) is constant
The range of (f) is only ({0})
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One-one
Not one-one
Constant
Undefined
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(f) is not one-one
(f) is one-one
(f) is decreasing everywhere
The value of (f) is never (1)
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) is constant everywhere
(f) gives negative values
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) is not a function
(f) is zero everywhere
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(f) is not one-one
(f) is one-one
(f) is not defined
The range of (f) is empty
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) is not a function
(f) has no image
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(f) is not one-one
(f) is one-one
(f) is not a function
The domain of (f) is empty
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One-one
Not one-one
Constant
Undefined
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(f) is not one-one
(f) is one-one
(f) is defined only at (x=7)
(f) has no value
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(f(1)=f(3))
(f(0)=f(1))
(f(2)=f(4))
(f(-1)=f(1))
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When (k\neq2)
When (k=2)
Only when (k=0)
Never
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f(1)=f(2))
(f) is constant
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Because (f(2)=f(-2))
Because (f(2)\neq f(-2))
Because (f(0)) is not defined
Because it is constant
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) gives the same value for every (n)
(f) gives only even values
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No
Yes
Only at \(x=0\)
Function not defined
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(f(0)=f(-3))
(f(1)=f(2))
(f(-1)=f(1))
(f(2)=f(3))
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f(1)=f(3)) so repetition is in the domain
(f) is constant
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Every horizontal line cuts the graph at at most one point
Every vertical line cuts the graph at two points
Every horizontal line cuts the graph at at least two points
The graph must be a parabola
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(f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=2)
(f(p)=2,\ f(q)=3,\ f(r)=4)
(f(p)=5,\ f(q)=6,\ f(r)=7)
(f(p)=1,\ f(q)=8,\ f(r)=9)
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(f) is one-one
(f) is not one-one
(f) is constant
(f) is defined only at (x=5)
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(k\ge0)
(k<0)
(k=-3)
(k) may be any real number
Question 1HardLevel 6
If (f:[-2,2]\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^2), what is the correct statement about (f)?यदि (f:[-2,2]\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: This domain contains both positive and negative opposite numbers. Step 2: (f(2)=4) and (f(-2)=4), while (2\neq -2). Step 3: On a symmetric domain (x^2) is not one-one.चरण 1: इस प्रांत में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों विपरीत संख्याएं शामिल हैं। चरण 2: (f(2)=4) और (f(-2)=4), जबकि (2\neq -2)। चरण 3: सममित प्रांत पर (x^2) एक-एक नहीं रहता।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=|x|+x), why is (f) not one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=|x|+x) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Read the absolute value expression piecewise. Step 2: If (x<0), then (|x|=-x), so (|x|+x=0). Step 3: Many different negative inputs give the same value (0), so the function is not one-one.चरण 1: निरपेक्ष मान को भागों में देखें। चरण 2: यदि (x<0), तो (|x|=-x), इसलिए (|x|+x=0) मिलता है। चरण 3: कई अलग ऋणात्मक आगतों का समान मान (0) होने से फलन एक-एक नहीं है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\sin x), what is the suitable statement about (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\sin x) है, तो (f) के बारे में उचित कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Only (\sin x) is periodic, but (x+\sin x) is not periodic. Step 2: As (x) increases, the total value does not return to an earlier value, so different inputs do not share the same value. Step 3: For mixed functions examine the complete rule.चरण 1: केवल (\sin x) आवर्ती है, लेकिन (x+\sin x) आवर्ती नहीं है। चरण 2: (x) बढ़ने पर कुल मान पीछे नहीं लौटता, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। चरण 3: मिश्रित फलन में पूरे नियम का व्यवहार देखें।
If \(f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}\) and \(f(x)=\tan x\), choose the correct statement about (f).यदि \(f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}\) तथा \(f(x)=\tan x\) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On the given interval (\tan x) is strictly increasing. Step 2: So if \(x_1\neq x_2\), then \(\tan x_1\neq \tan x_2\). Step 3: Taking (\tan x) on its principal interval makes it one-one.चरण 1: दिए गए अंतराल पर (\tan x) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसलिए \(x_1\neq x_2\) होने पर \(\tan x_1\neq \tan x_2\) होगा। चरण 3: (\tan x) को उसके मुख्य अंतराल पर लेने से वह एक-एक बनता है।
If (f:(0,\infty)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\ln x), what is the nature of (f)?यदि (f:(0,\infty)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\ln x) है, तो (f) का स्वभाव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (\ln x) increases on its domain ((0,\infty)). Step 2: If (\ln x_1=\ln x_2), then (x_1=x_2). Step 3: A logarithmic function is one-one on its proper domain.चरण 1: (\ln x) अपने प्रांत ((0,\infty)) पर बढ़ता है। चरण 2: यदि (\ln x_1=\ln x_2), तो (x_1=x_2) होता है। चरण 3: लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^4+1), what is the correct statement about (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^4+1) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Even-power functions can give the same power value for opposite inputs. Step 2: (f(1)=2) and (f(-1)=2), while (1\neq -1). Step 3: Check even powers carefully on the whole real domain.चरण 1: सम घात वाले फलन में विपरीत आगत समान घात मान दे सकते हैं। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि (1\neq -1)। चरण 3: सम घात को पूरे वास्तविक प्रांत पर सावधानी से जांचें।
If (f:[0,\infty)\to[1,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x+1}), what is the correct statement about (f)?यदि (f:[0,\infty)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x+1}) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: As (x+1) increases, (\sqrt{x+1}) also increases. Step 2: From (\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}), we get (x_1+1=x_2+1), hence (x_1=x_2). Step 3: A square-root function is one-one on its proper domain.चरण 1: (x+1) बढ़ने पर (\sqrt{x+1}) भी बढ़ता है। चरण 2: (\sqrt{x_1+1}=\sqrt{x_2+1}) से (x_1+1=x_2+1), इसलिए (x_1=x_2)। चरण 3: वर्गमूल फलन अपने सही प्रांत पर एक-एक होता है।
The function (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=x) if (x<0) and (f(x)=x+1) if (x\ge0). Choose the correct statement.फलन (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=x) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि (x\ge0) से परिभाषित किया गया है। सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For (x<0), the values are negative. Step 2: For (x\ge0), the values are (1) or more, so the ranges of the two parts do not overlap. Step 3: For piecewise functions check each part and the overlap of their ranges.चरण 1: (x<0) पर मान ऋणात्मक आते हैं। चरण 2: (x\ge0) पर मान (1) या उससे बड़े आते हैं, इसलिए दोनों भागों के परास आपस में नहीं मिलते। चरण 3: टुकड़ों में दिए फलन में हर भाग और उनके परास अलग-अलग जांचें।
The function (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=x^2) if (x<0) and (f(x)=x+1) if (x\ge0). What is the correct statement about (f)?फलन (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=x^2) यदि (x<0) और (f(x)=x+1) यदि (x\ge0) से परिभाषित किया गया है। (f) के लिए सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The ranges of the two parts can overlap. Step 2: (f(-2)=4) and (f(3)=4), while (-2\neq3). Step 3: In a piecewise function same value from different pieces breaks injectivity.चरण 1: दोनों भागों के परास में समान मान आ सकते हैं। चरण 2: (f(-2)=4) और (f(3)=4), जबकि (-2\neq3)। चरण 3: टुकड़ों वाले फलन में अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता तोड़ देता है।
If (f={(1,4),(2,5),(3,6)}), where (f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}), what is the correct statement about (f)?यदि (f={(1,4),(2,5),(3,6)}) है, जहां (f:{1,2,3}\to{4,5,6,7}), तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Each input has exactly one image, so it is a function. Step 2: The images (4,5,6) are all distinct. Step 3: For finite sets a function is one-one when images do not repeat.चरण 1: प्रत्येक आगत का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। चरण 2: प्रतिबिंब (4,5,6) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एक-एक होता है।
If (f={(1,4),(2,5),(3,5)}), where (f:{1,2,3}\to{4,5,6}), choose the correct statement.यदि (f={(1,4),(2,5),(3,5)}) है, जहां (f:{1,2,3}\to{4,5,6}), तो सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Injectivity requires no repetition among images. Step 2: Both (2) and (3) have image (5). Step 3: In ordered-pair questions quickly check the second components.चरण 1: एक-एकता में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। चरण 2: (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है। चरण 3: क्रमित युग्मों में दूसरे अवयवों को देखकर जल्दी जांच करें।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=3-2x), what type of function is (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=3-2x) है, तो (f) कैसा फलन है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: This is a linear function and the coefficient of (x) is (-2). Step 2: Since (-2\neq0), different (x)-values give different outputs. Step 3: A linear function with negative slope can also be one-one.चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-2) है। चरण 2: (-2\neq0), इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक फलन भी एक-एक हो सकता है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=7), what is the correct statement about (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=7) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A constant function sends every input to the same value. Step 2: (f(1)=7) and (f(2)=7), while (1\neq2). Step 3: A constant function can be one-one only when the domain has a single element.चरण 1: स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि (1\neq2)। चरण 3: स्थिर फलन तभी एक-एक हो सकता है जब प्रांत में केवल एक तत्व हो।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^2-4x+7), which option shows that (f) is not one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^2-4x+7) है, तो कौन सा विकल्प (f) के एक-एक न होने को दिखाता है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (x^2-4x+7=(x-2)^2+3). Step 2: (1) and (3) are equally distant from (2), so (f(1)=4) and (f(3)=4). Step 3: For quadratics check points equally distant from the vertex.चरण 1: (x^2-4x+7=(x-2)^2+3) है। चरण 2: (1) और (3), (2) से बराबर दूरी पर हैं, इसलिए (f(1)=4) और (f(3)=4)। चरण 3: शिखर के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जांचना उपयोगी है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=(k-2)x+5), when will (f) be one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=(k-2)x+5) है, तो (f) एक-एक कब होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: This is a linear function and the coefficient of (x) is (k-2). Step 2: For one-one nature this coefficient must not be zero. Step 3: Hence (k-2\neq0), so (k\neq2).चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (k-2) है। चरण 2: एक-एक होने के लिए यह गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 3: इसलिए (k-2\neq0), अर्थात (k\neq2)।
If (f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}) and (f(n)=n+2), what is the correct statement about (f)?यदि (f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}) तथा (f(n)=n+2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In (n+2), different (n)-values give different values. Step 2: If (n_1+2=n_2+2), then (n_1=n_2). Step 3: A simple shift function on natural numbers is one-one.चरण 1: (n+2) में अलग-अलग (n) अलग-अलग मान देते हैं। चरण 2: यदि (n_1+2=n_2+2), तो (n_1=n_2) होगा। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर सरल स्थानांतरण फलन एक-एक होता है।
If (f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}) and (f(n)=n^2), why is (f) not one-one?यदि (f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}) तथा (f(n)=n^2) है, तो (f) एक-एक क्यों नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Integers include both (2) and (-2). Step 2: (2^2=4) and ((-2)^2=4), while (2\neq-2). Step 3: Even-power rules are not one-one on integers either.चरण 1: पूर्णांकों में (2) और (-2) दोनों आते हैं। चरण 2: (2^2=4) और ((-2)^2=4), जबकि (2\neq-2)। चरण 3: सम घात वाले नियम पूर्णांकों पर भी एक-एक नहीं होते।
If (f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}) and (f(n)=2n+1), what is the correct statement about (f)?यदि (f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}) तथा (f(n)=2n+1) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (2n+1) is a linear rule. Step 2: If (2n_1+1=2n_2+1), then (n_1=n_2). Step 3: A linear function with non-zero coefficient is one-one on integers too.चरण 1: (2n+1) एक रैखिक नियम है। चरण 2: यदि (2n_1+1=2n_2+1), तो (n_1=n_2) मिलता है। चरण 3: पूर्णांकों पर भी शून्येतर गुणांक वाला रैखिक फलन एक-एक होता है।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(f(x)=|x+1|+|x-1|\), is (f) one-one?यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा \(f(x)=|x+1|+|x-1|\) है, तो (f) एक-एक है या नहीं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: On \(-1\le x\le1\), this sum becomes constant. Step 2: For example \(f(0)=2\) and \(f\left(\frac{1}{2}\right)=2\), while \(0\neq \frac{1}{2}\). Step 3: In sums of absolute values look for constant intervals.चरण 1: \(-1\le x\le1\) पर यह योग स्थिर हो जाता है। चरण 2: उदाहरण के लिए \(f(0)=2\) और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=2\), जबकि \(0\neq \frac{1}{2}\)। चरण 3: निरपेक्ष मानों के योग में स्थिर भाग खोजें।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^3+3x^2), which is the correct proof that (f) is not one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^3+3x^2) है, तो (f) के एक-एक न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: It is enough to find two different inputs with the same value. Step 2: (f(0)=0) and (f(-3)=-27+27=0), while (0\neq-3). Step 3: For polynomials use factors or special values to test quickly.चरण 1: दो अलग आगतों का समान मान ढूंढना पर्याप्त है। चरण 2: (f(0)=0) और (f(-3)=-27+27=0), जबकि (0\neq-3)। चरण 3: बहुपद में गुणनखंड या खास मानों से जल्दी जांच करें।
If (f:[2,\infty)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^2-4x+5), what is the correct statement about (f)?यदि (f:[2,\infty)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^2-4x+5) है, तो (f) के लिए सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (x^2-4x+5=(x-2)^2+1). Step 2: The domain (x\ge2) is to the right of the vertex where the function increases. Step 3: A quadratic restricted to one side of the vertex is one-one.चरण 1: (x^2-4x+5=(x-2)^2+1) है। चरण 2: प्रांत (x\ge2) शिखर के दाईं ओर है, जहां फलन बढ़ता है। चरण 3: शिखर से एक ओर सीमित द्विघात फलन एक-एक होता है।
Which graph-related rule correctly identifies a one-one function?एक-एक फलन की पहचान के लिए रेखाचित्र से जुड़ा सही नियम कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Injectivity means the same (y)-value must not occur at two different (x)-values. Step 2: A horizontal line represents a fixed (y)-value. Step 3: Hence the horizontal line test is a quick way to check one-one nature.चरण 1: एक-एकता में एक ही (y)-मान दो अलग (x)-मानों पर नहीं आना चाहिए। चरण 2: क्षैतिज रेखा समान (y)-मान को दिखाती है। चरण 3: इसलिए क्षैतिज रेखा परीक्षण एक-एकता जांचने का तेज तरीका है।
If (f:A\to B) is one-one and (A={p,q,r}), which of the following image lists is not possible?यदि (f:A\to B) एक-एक है और (A={p,q,r}), तो निम्न में से कौन सी छवि-सूची संभव नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A one-one function needs three distinct images for three distinct inputs. Step 2: In the first option both (p) and (r) have image (2). Step 3: In such options the fastest method is to look for repeated images.चरण 1: एक-एक फलन में तीन अलग आगतों के तीन अलग प्रतिबिंब होने चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (p) और (r) दोनों का प्रतिबिंब (2) है। चरण 3: विकल्पों में दोहराया हुआ प्रतिबिंब खोजना सबसे तेज तरीका है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{2x+3}{5}), what is the correct conclusion about (f)?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\frac{2x+3}{5}) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: This function is in linear form. Step 2: From (\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}), we get (2x_1+3=2x_2+3), hence (x_1=x_2). Step 3: Such a function is one-one when the coefficient of (x) in the numerator is non-zero.चरण 1: यह रैखिक रूप का फलन है। चरण 2: (\frac{2x_1+3}{5}=\frac{2x_2+3}{5}) से (2x_1+3=2x_2+3), इसलिए (x_1=x_2)। चरण 3: अंश में (x) का गुणांक शून्य न हो तो ऐसा फलन एक-एक होता है।
If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^3+kx), which condition on (k) is sufficient for (f) to be one-one?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^3+kx) है, तो (f) के एक-एक होने के लिए (k) की कौन सी शर्त पर्याप्त है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For injectivity it is useful to check whether the function keeps moving in one direction. Step 2: When (k\ge0), both (x^3) and (kx) contribute an increasing effect, so different (x)-values give different outputs. Step 3: In parameter-based questions always check how the parameter changes increasing or decreasing behavior.चरण 1: एक-एकता के लिए यह देखना उपयोगी है कि फलन लगातार एक ही दिशा में बढ़ रहा है या नहीं। चरण 2: जब (k\ge0), तब (x^3) और (kx) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पैरामीटर का मान फलन के बढ़ने या घटने को कैसे बदलता है, यह जरूर जांचें।
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