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In Class 12 Mathematics, under the chapter Relations and Functions, Introduction to Relations explains a relation as a subset of a Cartesian product. Students learn to form and count relations on sets, and identify important examples such as empty, universal and identity relations. The topic also introduces conditions used to recognise reflexive and symmetric relations.
Expert · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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(R\circ R=R)
(R\circ R=\varnothing)
(R\circ R=A\times A)
(R\cap R\circ R=\varnothing)
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({(1,3),(2,4)})
({(1,4)})
({(1,2),(2,3),(3,4)})
(\varnothing)
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({(1,3),(2,4)})
({(1,4)})
({(1,2),(2,3),(3,4)})
(\varnothing)
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((1,1))
((1,3))
((3,1))
((1,2))
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it will be equal to (R\circ R)
it will always be empty
it will always be the identity relation
it will never be symmetric
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(R)
(R^{-1})
(\varnothing)
(A\times A)
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(R^{-1}\cup S^{-1})
(R^{-1}\cap S^{-1})
(R\cup S^{-1})
(R^{-1}-S^{-1})
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(R^{-1}\cup S^{-1})
(R^{-1}\cap S^{-1})
(R\cap S^{-1})
(R^{-1}-S)
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(R^{-1}\subseteq S^{-1})
(S^{-1}\subseteq R^{-1})
(R^{-1}=S)
(S^{-1}=\varnothing)
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it is always true
it is always false
it is true only for the empty relation
it cannot be decided
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((1,1))
((4,1))
((3,2))
((4,4))
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((1,4))
((4,1))
((3,1))
((4,2))
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(13)
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Reflexive
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Universal
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Yes
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Only for empty set
Question 1ExpertLevel 6
On (A={1,2,3,4,5,6}), for (R={(a,b):\gcd(a,b)=1}), which of ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) belong to (R)?समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (R={(a,b):\gcd(a,b)=1}) में ((2,3)), ((2,4)), ((5,6)) में से कौन से युग्म होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: (\gcd(2,3)=1), so ((2,3)) belongs to the relation. Step 2: (\gcd(2,4)=2), so ((2,4)) does not belong. Step 3: (\gcd(5,6)=1), so ((5,6)) also belongs.चरण 1: (\gcd(2,3)=1), इसलिए ((2,3)) संबंध में है। चरण 2: (\gcd(2,4)=2), इसलिए ((2,4)) संबंध में नहीं है। चरण 3: (\gcd(5,6)=1), इसलिए ((5,6)) भी संबंध में है।
In the divisibility relation on (A={1,2,3,4,6,8,12,24}), what is the least upper bound of (6) and (8)?समुच्चय (A={1,2,3,4,6,8,12,24}) पर विभाज्यता संबंध में (6) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: An upper bound must be divisible by both (6) and (8). Step 2: In (A), (24) works, while (12) is not divisible by (8). Step 3: Therefore the least upper bound is (24).चरण 1: ऊपरी बाध्य वह होगा जिसे (6) और (8) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (A) में (24) ऐसा अवयव है और (12) को (8) विभाजित नहीं करता। चरण 3: इसलिए न्यूनतम ऊपरी बाध्य (24) है।
In the divisibility relation on (A={1,2,3,4,6,8,12,24}), what is the greatest lower bound of (8) and (12)?समुच्चय (A={1,2,3,4,6,8,12,24}) पर विभाज्यता संबंध में (8) और (12) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: A lower bound must divide both (8) and (12). Step 2: The elements (1,2,4) satisfy this. Step 3: Under divisibility, the greatest among them is (4).चरण 1: निचला बाध्य वह है जो (8) और (12) दोनों को विभाजित करे। चरण 2: (1,2,4) ऐसे अवयव हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है।
In the divisibility relation on (A={2,4,6,12,18}), how many maximal elements are there?समुच्चय (A={2,4,6,12,18}) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम अवयवों की संख्या कितनी है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: A maximal element has no distinct element above it in the set. Step 2: Neither (12) nor (18) divides another distinct element of (A). Step 3: Elements (2,4,6) have elements above them, so the maximal elements are (12) and (18).चरण 1: अधिकतम अवयव वह है जिसके ऊपर समुच्चय में कोई अलग अवयव न हो। चरण 2: (12) को (A) का कोई बड़ा अवयव विभाजित रूप में ऊपर नहीं ले जाता और (18) के लिए भी ऐसा ही है। चरण 3: (2,4,6) ऊपर किसी न किसी अवयव से जुड़े हैं, इसलिए अधिकतम अवयव (12) और (18) हैं।
In the divisibility relation on (A={2,4,6,12,18}), how many minimal elements are there?समुच्चय (A={2,4,6,12,18}) पर विभाज्यता संबंध में न्यूनतम अवयवों की संख्या कितनी है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A minimal element has no distinct element below it. Step 2: There is no distinct element of (A) below (2). Step 3: Each of (4,6,12,18) has (2) or another element below it, so there is only (1) minimal element.चरण 1: न्यूनतम अवयव के नीचे समुच्चय का कोई अलग अवयव नहीं होना चाहिए। चरण 2: (2) के नीचे कोई अलग अवयव नहीं है। चरण 3: (4,6,12,18) सभी के नीचे (2) या कोई अन्य अवयव है, इसलिए केवल (1) न्यूनतम अवयव है।
In the divisibility relation on (A={1,2,3,6}), how many comparable unordered pairs ({a,b}) with (a\ne b) are there?समुच्चय (A={1,2,3,6}) पर विभाज्यता संबंध में कुल कितने तुलनीय जोड़े ({a,b}) हैं, जहां (a\ne b)?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: Two elements are comparable if one divides the other. Step 2: The comparable pairs are ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6}). Step 3: ({2,3}) is not comparable, so the count is (5).चरण 1: तुलनीय होने के लिए एक अवयव दूसरे को विभाजित करे। चरण 2: जोड़े हैं ({1,2},{1,3},{1,6},{2,6},{3,6})। चरण 3: ({2,3}) तुलनीय नहीं है, इसलिए कुल (5) तुलनीय जोड़े हैं।
In the divisibility relation on (A={1,2,3,6}), how many elements can a longest chain contain?समुच्चय (A={1,2,3,6}) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम श्रृंखला में कितने अवयव होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: In a chain, every two elements must be comparable. Step 2: (1\mid2\mid6) and (1\mid3\mid6) are chains of three elements. Step 3: Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible.चरण 1: एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। चरण 2: (1\mid2\mid6) और (1\mid3\mid6) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। चरण 3: (2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती।
In the divisibility relation on (A={1,2,4,8,16}), what is the least upper bound of (2) and (8)?समुच्चय (A={1,2,4,8,16}) पर विभाज्यता संबंध में (2) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: An upper bound must be divisible by both (2) and (8). Step 2: (8) and (16) are upper bounds. Step 3: Under divisibility, the least among them is (8).चरण 1: ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। चरण 2: (8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है।
In the divisibility relation on (A={1,2,4,8,16}), what is the greatest lower bound of (4) and (16)?समुच्चय (A={1,2,4,8,16}) पर विभाज्यता संबंध में (4) और (16) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: A lower bound must divide both (4) and (16). Step 2: (1,2,4) are lower bounds. Step 3: Under divisibility, the greatest among them is (4).चरण 1: निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। चरण 2: (1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। चरण 3: विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है।
If (R) is reflexive and transitive on a set, which statement about (R\circ R) is always true?यदि (R) किसी समुच्चय पर प्रतिवर्ती और संक्रामी है, तो (R\circ R) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Reflexivity gives (R\subseteq R\circ R). Step 2: Transitivity gives (R\circ R\subseteq R). Step 3: Combining both inclusions gives (R\circ R=R).चरण 1: प्रतिवर्तिता से (R\subseteq R\circ R) मिलता है। चरण 2: संक्रामकता से (R\circ R\subseteq R) मिलता है। चरण 3: दोनों समावेशन मिलाकर (R\circ R=R) होता है।
On (A={1,2,3,4}), for (R={(1,2),(2,3),(3,4)}), what is (R\circ R)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,3),(3,4)}) का (R\circ R) कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)). Step 2: ((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4)). Step 3: There is no other two-step chain, so this is (R\circ R).चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलता है। चरण 3: दो चरणों की और कोई शृंखला नहीं है, इसलिए यही (R\circ R) है।
On (A={1,2,3,4}), for (R={(1,2),(2,3),(3,4)}), what is (R\circ R\circ R)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,3),(3,4)}) का (R\circ R\circ R) कौन सा है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: A triple composition represents a three-step chain. Step 2: Here (1\to2\to3\to4) is the only three-step chain. Step 3: Therefore (R\circ R\circ R={(1,4)}).चरण 1: तीन बार संयोजन का अर्थ तीन चरणों की शृंखला है। चरण 2: यहां (1\to2\to3\to4) एकमात्र तीन-चरण शृंखला है। चरण 3: इसलिए (R\circ R\circ R={(1,4)}) होगा।
On (A={1,2,3}), for (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}), which pair will not belong to (R\circ R)?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}) का (R\circ R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
Correct answer:सही उत्तर:D
Step 1: (1\to2\to1) gives ((1,1)), and (1\to2\to3) gives ((1,3)). Step 2: (3\to2\to1) gives ((3,1)). Step 3: There is no two-step chain from (1) to (2), so ((1,2)) is not in (R\circ R).चरण 1: (1\to2\to1) से ((1,1)) और (1\to2\to3) से ((1,3)) मिलता है। चरण 2: (3\to2\to1) से ((3,1)) भी मिलता है। चरण 3: (1) से (2) तक दो चरणों की शृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,2)) नहीं होगा।
If (R) is a symmetric relation, which statement about (R\circ R^{-1}) is correct?यदि (R) सममित संबंध है, तो (R\circ R^{-1}) के बारे में कौन सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For a symmetric relation, (R^{-1}=R). Step 2: So in (R\circ R^{-1}), we may replace (R^{-1}) by (R). Step 3: Hence (R\circ R^{-1}=R\circ R).चरण 1: सममित संबंध के लिए (R^{-1}=R) होता है। चरण 2: इसलिए (R\circ R^{-1}) में (R^{-1}) की जगह (R) रख सकते हैं। चरण 3: अतः (R\circ R^{-1}=R\circ R)।
For any relation (R), what is ((R^{-1})^{-1}) equal to?किसी संबंध (R) के लिए ((R^{-1})^{-1}) किसके बराबर होता है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Taking the inverse reverses every ordered pair. Step 2: Reversing twice brings each pair back to its original direction. Step 3: Therefore ((R^{-1})^{-1}=R).चरण 1: प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। चरण 2: दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। चरण 3: इसलिए ((R^{-1})^{-1}=R) होता है।
If (R) and (S) are relations, what is ((R\cup S)^{-1}) equal to?यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो ((R\cup S)^{-1}) किसके बराबर होता है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: A pair in the union comes from (R) or from (S). Step 2: Its reverse will then lie in (R^{-1}) or in (S^{-1}). Step 3: Hence ((R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).चरण 1: संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। चरण 2: यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा (R^{-1}) में होगा, और यदि (S) से आया है तो (S^{-1}) में होगा। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम (R^{-1}\cup S^{-1}) है।
If (R) and (S) are relations, what is ((R\cap S)^{-1}) equal to?यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो ((R\cap S)^{-1}) किसके बराबर होता है?
Correct answer:सही उत्तर:B
Step 1: A pair is in the intersection only when it belongs to both (R) and (S). Step 2: Its reverse then belongs to both (R^{-1}) and (S^{-1}). Step 3: Therefore ((R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}).चरण 1: प्रतिच्छेद में युग्म तभी होगा जब वह (R) और (S) दोनों में हो। चरण 2: उसका उल्टा तब (R^{-1}) और (S^{-1}) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए ((R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}) है।
If (R\subseteq S), which statement about inverse relations is correct?यदि (R\subseteq S), तो प्रतिलोम संबंधों के बारे में कौन सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If ((a,b)\in R^{-1}), then ((b,a)\in R). Step 2: Since (R\subseteq S), ((b,a)\in S). Step 3: Therefore ((a,b)\in S^{-1}), so (R^{-1}\subseteq S^{-1}).चरण 1: यदि ((a,b)\in R^{-1}), तो ((b,a)\in R)। चरण 2: (R\subseteq S) होने से ((b,a)\in S) भी होगा। चरण 3: इसलिए ((a,b)\in S^{-1}), अतः (R^{-1}\subseteq S^{-1})।
If (R) is transitive, which statement about (R^3\subseteq R) is correct?यदि (R) संक्रामी संबंध है, तो (R^3\subseteq R) के बारे में कौन सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Transitivity gives (R\circ R\subseteq R). Step 2: (R^3=R\circ R\circ R). Step 3: Combining the first two factors into (R) shows (R^3\subseteq R).चरण 1: संक्रामकता से (R\circ R\subseteq R) मिलता है। चरण 2: (R^3=R\circ R\circ R) है। चरण 3: पहले दो चरणों को (R) में समेटने पर (R^3\subseteq R) मिलता है।
On (A={1,2,3,4}), for (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)}), which pair must be added to make it transitive?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)}) को संक्रामी बनाने के लिए नीचे में कौन सा युग्म अवश्य जोड़ना पड़ेगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((1,2)) and ((2,1)) are in the relation. Step 2: Transitivity requires ((1,1)) from these two pairs. Step 3: Therefore ((1,1)) is a compulsory pair to add.चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) संबंध में हैं। चरण 2: संक्रामकता के लिए इनसे ((1,1)) का होना आवश्यक है। चरण 3: इसलिए ((1,1)) उन युग्मों में से है जिसे अवश्य जोड़ना पड़ेगा।
On (A={1,2,3,4}), which pair will belong to the transitive closure of (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)})?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,1),(2,3),(3,4)}) के संक्रामी आवरण में नीचे में कौन सा युग्म होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: There is a chain (1\to2), (2\to3), and (3\to4). Step 2: The transitive closure adds all reachable pairs. Step 3: Since (4) is reachable from (1), ((1,4)) will be included.चरण 1: (1\to2), (2\to3), और (3\to4) की शृंखला बनती है। चरण 2: संक्रामी आवरण सभी पहुंच योग्य युग्म जोड़ता है। चरण 3: इसलिए (1) से (4) तक पहुंच होने के कारण ((1,4)) शामिल होगा।
On (A={1,2,3,4,5}), how many pairs are in the smallest equivalence relation containing (R={(1,2),(2,3),(4,5)})?समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(1,2),(2,3),(4,5)}) का सबसे छोटा समतुल्यता संबंध कितने युग्मों वाला होगा?
Correct answer:सही उत्तर:C
Step 1: Elements (1,2,3) are connected into one class. Step 2: Elements (4,5) form another class. Step 3: The first class gives (3^2=9) pairs and the second gives (2^2=4), so the total is (13).चरण 1: (1,2,3) एक वर्ग में जुड़ते हैं। चरण 2: (4,5) दूसरा वर्ग बनाते हैं। चरण 3: पहले वर्ग से (3^2=9) और दूसरे से (2^2=4) युग्म मिलते हैं, कुल (13)।
On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\text{ is even}}) and (S={(a,b):a-b\text{ is divisible by }4}). How many pairs are in (R\cap S)?समुच्चय A={1,2,3,4} पर R={(a,b):a+b सम है} और S={(a,b):a−b 4 से विभाज्य है} दिए गए हैं, तो R∩S में कितने युग्म होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In this set, (a-b) being divisible by (4) occurs only for equal elements. Step 2: So (S) acts like the identity relation, and all its (4) self-pairs also lie in (R). Step 3: Hence (R\cap S) contains (4) pairs.चरण 1: (S) में (a-b) का (4) से विभाज्य होना इस समुच्चय में केवल समान तत्वों के लिए संभव है। चरण 2: इसलिए (S) पहचान संबंध जैसा है और उसके सभी (4) स्वयुग्म (R) में भी होंगे। चरण 3: अतः (R\cap S) में (4) युग्म होंगे।
If (S={1,2,3}) and \(A=\mathcal{P}(S)\). On (A), (R={(X,Y):X\cap Y=X}). What is (R) with respect to reflexivity?यदि (S={1,2,3}) और \(A=\mathcal{P}(S)\) है। (A) पर (R={(X,Y):X\cap Y=X}\) है। (R) कैसा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Put (Y=X) on the diagonal. Step 2: Then (X\cap X=X), which is true for every set. Step 3: Therefore every ((X,X)) belongs to the relation, so (R) is reflexive.चरण 1: विकर्ण पर (Y=X) रखें। चरण 2: तब (X\cap X=X) मिलेगा, जो हर समुच्चय के लिए सत्य है। चरण 3: इसलिए सभी ((X,X)) संबंध में हैं और (R) प्रतिवर्ती है।
For \(S={1,2,3}\) and \(A=\mathcal{P}(S)\), \(R={(X,Y):X\cup Y=Y}\). Is (R) reflexive?समुच्चय \(S={1,2,3}\) और \(A=\mathcal{P}(S)\) पर \(R={(X,Y):X\cup Y=Y}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For reflexivity, put (Y=X). Step 2: Then (X\cup X=X), which is the same as (Y). Step 3: Hence every diagonal pair satisfies the condition.चरण 1: प्रतिवर्तिता के लिए (Y=X) रखें। चरण 2: तब (X\cup X=X) और यही (Y) है। चरण 3: इसलिए हर विकर्ण युग्म शर्त पूरी करता है।
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