On A = {1,2,3,4,5}, for aRb when a ≡ b (mod 3), what is the equivalence class [2]?A = {1,2,3,4,5} पर aRb तब है जब a ≡ b (mod 3)। तब तुल्यता कक्षा [2] क्या होगी?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: {2,5}{2,5}
The direct answer is {2,5}, so option A is correct. The equivalence class [2] contains all elements x of A that are congruent to 2 modulo 3. Congruence means that x−2 is divisible by 3, or that x and 2 leave the same remainder on division by 3. Test the elements one by one: 2−2=0, which is divisible by 3, and 5−2=3, which is also divisible by 3. Thus 2 and 5 belong to [2]. For 1, the difference is −1; for 3 it is 1; and for 4 it is 2. None of these is divisible by 3, so they do not belong. Option B, {1,4}, is the class of 1; option C, {3}, is the class of 3; and option D incorrectly combines different classes. A useful memory cue is to group numbers by their remainders modulo 3: {1,4}, {2,5}, and {3}.सीधा उत्तर {2,5} है, इसलिए विकल्प A सही है। तुल्यता कक्षा [2] में A के वे सभी अवयव होंगे जो modulo 3 के अंतर्गत 2 के तुल्य हों। इसका अर्थ है कि x−2, 3 से विभाज्य हो, या x और 2 को 3 से भाग देने पर समान शेषफल मिले। अब एक-एक अवयव जाँचते हैं। 2−2=0 और 5−2=3, दोनों 3 से विभाज्य हैं; इसलिए 2 और 5 कक्षा [2] में होंगे। दूसरी ओर 1−2=−1, 3−2=1 और 4−2=2 हैं, जिनमें कोई भी 3 से विभाज्य नहीं है। अतः ये [2] में नहीं आते। विकल्प B, {1,4}, वास्तव में [1] है। विकल्प C, {3}, [3] है। विकल्प D अलग-अलग तुल्यता कक्षाओं को गलत ढंग से एक कर देता है। याद रखने के लिए A को 3 से भाग देने पर मिलने वाले शेषफलों के अनुसार समूह बनाएँ: {1,4}, {2,5} और {3}।
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