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In Class 12 Mathematics, this topic introduces binary operations as functions that combine two elements of a set to produce another element of the same set. Within the chapter Relations and Functions, students learn to identify whether an operation is well-defined and closed, represent it through tables or algebraic rules, and examine key properties such as commutativity, associativity, identity elements, and inverses. Examples involving familiar number systems help connect these ideas with broader function concepts.
Hard · Level 6 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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For every real (k)
Only for (k=0)
Only for (k=1)
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(-p-2c)
(-p-c)
(p+2c)
(c-p)
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(1)
(0)
(-1)
No such element
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It is binary but not commutative
It is not binary
It is commutative
Its two-sided identity is (1)
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(-7)
(-5)
(7)
(0)
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(2)
(0)
(-2)
No such element
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(7)
(3)
(-7)
(5)
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(0)
(1)
Both (0) and (1)
No such element
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(1)
(0)
Both (0) and (1)
No such element
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(1)
(0)
Both (0) and (1)
No such element
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(-1)
(0)
(1)
No such element
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((1-a)(1-b))
(ab)
(a+b)
(1+a+b)
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Because (1-(a*b)=(1-a)(1-b)\neq0)
Because (a*b=1) always
Because (a*b=0) always
Because (a=b) is necessary
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It is both associative and commutative
It is only commutative
It is only associative
It is neither associative nor commutative
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It is not associative
It is associative
It is not closed
Its identity is (0)
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No such element
(0)
(1)
(-1)
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(0)
(1)
(2)
(3)
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(4)
(3)
(1)
(6)
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(3)
(2)
(4)
(1)
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(7)
(-5)
(11)
(-7)
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Identity element does not exist
Identity is (0)
Identity is (1)
Identity is (\frac{1}{2})
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(3)
(2)
(4)
(-3)
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(5)
(4)
(6)
(8)
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(\frac{3}{5})
(-\frac{3}{5})
(5)
No such element
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(\frac{1}{2})
(0)
(1)
No such element
Question 1HardLevel 6
If (a*b=a+b+kab) on (\mathbb{R}), for which values of (k) is the operation associative?यदि (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+kab) है, तो यह संक्रिया किन (k) के लिए साहचर्य है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Expanding ((a*b)*c) gives (a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc). Step 2: Expanding (a*(b*c)) gives the same expression. Step 3: Hence it is associative for every real (k).चरण 1: ((a*b)*c) का विस्तार करने पर (a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc) मिलता है। चरण 2: (a*(b*c)) का विस्तार भी यही आता है। चरण 3: इसलिए यह हर वास्तविक (k) के लिए साहचर्य है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+c). What will be the inverse of an element (p)?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+c) है। किसी अवयव (p) का प्रतिलोम क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: First find identity: (a+e+c=a), so (e=-c). Step 2: From (p*x=e), (p+x+c=-c). Step 3: Hence (x=-p-2c), the inverse of (p).चरण 1: पहले तत्समक (e) निकालें: (a+e+c=a), इसलिए (e=-c)। चरण 2: (p*x=e) से (p+x+c=-c)। चरण 3: इसलिए (x=-p-2c), यही (p) का प्रतिलोम है।
On (\mathbb{R}^+), (a*b=ab). What is its identity element?समुच्चय (\mathbb{R}^+) पर (a*b=ab) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For identity (e), (ae=a). Step 2: Since (a>0), (e=1). Step 3: In usual multiplication, (1) is identity, but it must also belong to the given set.चरण 1: तत्समक (e) के लिए (ae=a) होना चाहिए। चरण 2: (a>0), इसलिए (e=1)। चरण 3: सामान्य गुणन में (1) तत्समक होता है, लेकिन समुच्चय में उसका होना भी जरूरी है।
On (\mathbb{R}^+), (a*b=\frac{a}{b}). What is the correct statement?समुच्चय (\mathbb{R}^+) पर (a*b=\frac{a}{b}) है। सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Dividing a positive number by a positive number gives a positive number, so closure holds. Step 2: (\frac{a}{b}) is generally not equal to (\frac{b}{a}). Step 3: In division operations, check left and right sides separately.चरण 1: धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर धनात्मक संख्या मिलती है, इसलिए बंदता है। चरण 2: (\frac{a}{b}) सामान्यतः (\frac{b}{a}) के बराबर नहीं होता। चरण 3: भाग वाली संक्रिया में बाएँ और दाएँ पक्ष अलग-अलग जाँचें।
On (\mathbb{Z}), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (5)?समुच्चय (\mathbb{Z}) पर (a*b=a+b+1) है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1). Step 2: From (5*x=-1), (5+x+1=-1). Step 3: Hence (x=-7); always connect inverse with identity.चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), इसलिए (e=-1)। चरण 2: (5*x=-1) से (5+x+1=-1)। चरण 3: अतः (x=-7); प्रतिलोम को हमेशा तत्समक से जोड़कर देखें।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-2). What will be the identity element?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-2) है। तत्समक अवयव क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (a*e=a). Step 2: From (a+e-2=a), we get (e=2). Step 3: When a fixed number is added or subtracted, identity balances that fixed number.चरण 1: (a*e=a) लिखें। चरण 2: (a+e-2=a) से (e=2) मिलता है। चरण 3: स्थिर संख्या घट या जुड़ रही हो, तो तत्समक उसी को संतुलित करता है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-2). What is the inverse of (-3)?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-2) है। (-3) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (2). Step 2: From (-3*x=2), (-3+x-2=2), so (x=7). Step 3: With negative numbers, write every term clearly.चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक (2) है। चरण 2: (-3*x=2) से (-3+x-2=2), अतः (x=7)। चरण 3: ऋणात्मक संख्या के साथ समीकरण बनाते समय हर पद साफ लिखें।
On (A={0,1}), (a*b=|a-b|). What is its identity element?समुच्चय (A={0,1}) पर (a*b=|a-b|) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (a*0=|a-0|=a) because (a) is only (0) or (1). Step 2: (0*a=|0-a|=a) also holds. Step 3: For small sets, check both directions.चरण 1: (a*0=|a-0|=a) क्योंकि (a) केवल (0) या (1) है। चरण 2: (0*a=|0-a|=a) भी सही है। चरण 3: छोटे समुच्चय में दोनों दिशा जाँचना जरूरी है।
On (A={0,1}), (a*b=ab). Which is the identity element?समुच्चय (A={0,1}) पर (a*b=ab) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In multiplication, (a\cdot1=a). Step 2: (1\cdot a=a) also holds for all (a\in A). Step 3: Identity is the element that does not change an element from either side.चरण 1: गुणन में (a\cdot1=a) होता है। चरण 2: (1\cdot a=a) भी सभी (a\in A) के लिए सही है। चरण 3: तत्समक वही है जो दोनों ओर से अवयव को नहीं बदलता।
On (A={0,1}), (a*b=a+b-ab). Which element is absorbing?समुच्चय (A={0,1}) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव अवशोषक है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For absorbing element (z), (a*z=z) and (z*a=z) must hold. Step 2: (a*1=a+1-a=1) and (1*a=1+a-a=1). Step 3: Hence (1) is absorbing; do not confuse it with identity.चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) चाहिए। चरण 2: (a*1=a+1-a=1) और (1*a=1+a-a=1)। चरण 3: इसलिए (1) अवशोषक है; इसे तत्समक से अलग पहचानें।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+ab). What is the absorbing element of this operation?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For absorbing element (z), (a*z=z) is needed. Step 2: (a*(-1)=a-1-a=-1) and ((-1)*a=-1+a-a=-1). Step 3: Hence (-1) is absorbing; it also becomes the element without inverse.चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) चाहिए। चरण 2: (a*(-1)=a-1-a=-1) और ((-1)*a=-1+a-a=-1)। चरण 3: इसलिए (-1) अवशोषक है; यह प्रतिलोम न होने वाला अवयव भी बनता है।
If (a*b=a+b-ab), then (1-(a*b)) is equal to what?यदि (a*b=a+b-ab), तो (1-(a*b)) किसके बराबर है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (1-(a*b)=1-(a+b-ab)). Step 2: Simplifying gives (1-a-b+ab). Step 3: This equals ((1-a)(1-b)), which helps in understanding associativity.चरण 1: (1-(a*b)=1-(a+b-ab)) लिखें। चरण 2: सरल करने पर (1-a-b+ab) मिलता है। चरण 3: यह ((1-a)(1-b)) है, जो साहचर्य समझने में बहुत मदद करता है।
On (A=\mathbb{R}-{1}), (a*b=a+b-ab). Why is it closed in (A)?समुच्चय (A=\mathbb{R}-{1}) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) में बंद क्यों है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Since (a,b\in A), (a\neq1) and (b\neq1). Step 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), which is not zero. Step 3: Therefore (a*b\neq1), so the result again lies in (A).चरण 1: (a,b\in A) होने से (a\neq1) और (b\neq1)। चरण 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), जो शून्य नहीं है। चरण 3: इसलिए (a*b\neq1), अतः परिणाम फिर (A) में है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-ab). Which statement about this operation is correct?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-ab) है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The formula (a+b-ab) is unchanged when (a,b) are interchanged, so it is commutative. Step 2: Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), associativity follows like multiplication. Step 3: In hard operations, look for such simpler forms.चरण 1: सूत्र (a+b-ab) में (a,b) बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए क्रमविनिमेयता है। चरण 2: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए गुणन की तरह साहचर्य भी मिलता है। चरण 3: कठिन संक्रिया में ऐसा सरल रूप खोजें।
On (\mathbb{R}-{0}), (a*b=\frac{a}{b}). What is the correct conclusion about associativity?समुच्चय (\mathbb{R}-{0}) पर (a*b=\frac{a}{b}) है। साहचर्य के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: ((8*4)*2=(\frac{8}{4})*2=1). Step 2: (8*(4*2)=8*(2)=4). Step 3: The two values are different, so the operation is not associative.चरण 1: ((8*4)*2=(\frac{8}{4})*2=1)। चरण 2: (8*(4*2)=8*(2)=4)। चरण 3: दोनों मान अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं है।
On (\mathbb{R}), (a*b=\sqrt{a^2+b^2}). What is its identity element?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=\sqrt{a^2+b^2}) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For identity (e), (\sqrt{a^2+e^2}=a) must hold for every real (a), which fails when (a<0). Step 2: Even (a*0=|a|), not (a) for negative (a). Step 3: Therefore there is actually no identity on (\mathbb{R}); avoid the tempting option (0).चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\sqrt{a^2+e^2}=a) सभी वास्तविक (a) के लिए नहीं चल सकता यदि (a<0) हो। चरण 2: लेकिन (a*0=|a|), इसलिए ऋणात्मक (a) पर (a) नहीं मिलता। चरण 3: इसलिए वास्तव में (\mathbb{R}) पर कोई तत्समक नहीं है; दिए विकल्पों में भ्रम से बचें।
On (A={0,1,2,3}), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the identity element?समुच्चय (A={0,1,2,3}) पर (a*b), (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। तत्समक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: This is addition based on remainders modulo (4). Step 2: Dividing (a+0) by (4) gives the same remainder (a). Step 3: Hence (0) is the identity; in remainder operations, understand the basic addition first.चरण 1: यहाँ संक्रिया (4) के शेष पर आधारित जोड़ है। चरण 2: (a+0) को (4) से भाग देने पर वही शेष (a) मिलता है। चरण 3: इसलिए (0) तत्समक है; शेषफल वाली संक्रिया में पहले मूल जोड़ समझें।
On (A={0,1,2,3,4,5,6}), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (7). What is the inverse of (3)?समुच्चय (A={0,1,2,3,4,5,6}) पर (a*b), (a+b) को (7) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity for this operation is (0). Step 2: For inverse (x) of (3), the remainder of (3+x) on division by (7) must be (0). Step 3: Since (3+4=7), the inverse is (4).चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक (0) है। चरण 2: (3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x) का (7) से शेष (0) होना चाहिए। चरण 3: (3+4=7), इसलिए प्रतिलोम (4) है।
On (A={1,2,3,4}), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (2)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (a*b), (ab) को (5) से भाग देने पर प्राप्त शेष है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In multiplication with remainders, the identity is (1). Step 2: For inverse (x) of (2), the remainder of (2x) on division by (5) must be (1). Step 3: (2\cdot3=6), whose remainder is (1), so the answer is (3).चरण 1: गुणन के शेष में तत्समक (1) है। चरण 2: (2) के प्रतिलोम (x) के लिए (2x) का (5) से शेष (1) होना चाहिए। चरण 3: (2\cdot3=6) और (6) का शेष (1) है, इसलिए उत्तर (3) है।
On (A=\mathbb{R}-{1}), (a*b=a+b-ab). What is the value of ((2*3)*4)?समुच्चय (A=\mathbb{R}-{1}) पर (a*b=a+b-ab) है। ((2*3)*4) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: First (2*3=2+3-6=-1). Step 2: Now ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7). Step 3: Do not change the bracket order; evaluate the inner operation first.चरण 1: पहले (2*3=2+3-6=-1)। चरण 2: अब ((-1)*4=-1+4-(-1)(4)=7)। चरण 3: कोष्ठक का क्रम न बदलें, पहले अंदर की संक्रिया करें।
On (\mathbb{R}), (a*b=\frac{a+b}{2}). What is the correct statement about its identity element?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=\frac{a+b}{2}) है। इसके तत्समक अवयव के बारे में सही कथन क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: From (a*e=a), (\frac{a+e}{2}=a). Step 2: This gives (e=a), which is not a fixed element. Step 3: Identity must be the same for every (a), so it does not exist here.चरण 1: (a*e=a) से (\frac{a+e}{2}=a) मिलता है। चरण 2: इससे (e=a) आता है, जो स्थिर अवयव नहीं है। चरण 3: तत्समक सभी (a) के लिए एक ही होना चाहिए, इसलिए यहाँ नहीं है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+1). If (x*3=7), what is the value of (x)?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+1) है। यदि (x*3=7), तो (x) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Put (a=x) and (b=3) in the given formula. Step 2: (x*3=x+3+1=7), so (x+4=7). Step 3: Hence (x=3); apply the definition directly in such calculations.चरण 1: दिए सूत्र में (a=x) और (b=3) रखें। चरण 2: (x*3=x+3+1=7), इसलिए (x+4=7)। चरण 3: अतः (x=3); ऐसी गणना में परिभाषा को सीधे लगाएँ।
On (\mathbb{R}), (a*b=2a+3b). If (x*2=16), what is the value of (x)?समुच्चय (\mathbb{R}) पर (a*b=2a+3b) है। यदि (x*2=16), तो (x) का मान क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: In (x*2), put (a=x) and (b=2). Step 2: (2x+3(2)=16), so (2x+6=16). Step 3: This gives (x=5); first apply the operation, then solve the simple equation.चरण 1: (x*2) में (a=x) और (b=2) रखें। चरण 2: (2x+3(2)=16), इसलिए (2x+6=16)। चरण 3: इससे (x=5) मिलता है; पहले संक्रिया लगाएँ, फिर सरल समीकरण हल करें।
On (\mathbb{R}), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the inverse of (3)?समुच्चय (\mathbb{R}) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: First find the identity. From (a+e-2ae=a), we get (e=0). Step 2: For inverse (x) of (3), (3+x-6x=0), so (3-5x=0). Step 3: Hence (x=\frac{3}{5}); while finding inverse, equate the result to the identity.चरण 1: पहले तत्समक निकालें। (a+e-2ae=a) से (e=0) मिलता है। चरण 2: (3) के प्रतिलोम (x) के लिए (3+x-6x=0), इसलिए (3-5x=0)। चरण 3: अतः (x=\frac{3}{5}); प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें।
On (\mathbb{R}), the operation (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the absorbing element of this operation?समुच्चय (\mathbb{R}) पर संक्रिया (a*b=a+b-2ab) है। इस संक्रिया का अवशोषक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: For absorbing element (z), both (a*z=z) and (z*a=z) must hold. Step 2: From (a*z=a+z-2az=z), we get (a(1-2z)=0). Step 3: This holds for every (a) only when (z=\frac{1}{2}); hence the absorbing element is (\frac{1}{2}).चरण 1: अवशोषक (z) के लिए (a*z=z) और (z*a=z) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (a*z=a+z-2az=z) से (a(1-2z)=0) मिलता है। चरण 3: सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब (z=\frac{1}{2}); इसलिए अवशोषक अवयव (\frac{1}{2}) है।
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