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In Class 12 Mathematics, this topic introduces binary operations as functions that combine two elements of a set to produce another element of the same set. Within the chapter Relations and Functions, students learn to identify whether an operation is well-defined and closed, represent it through tables or algebraic rules, and examine key properties such as commutativity, associativity, identity elements, and inverses. Examples involving familiar number systems help connect these ideas with broader function concepts.
Hard · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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25 questions
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(\frac{4}{a})
(\frac{2}{a})
(\frac{1}{a})
(-a)
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((-1,1))
(\mathbb{R})
(\mathbb{Z})
(\mathbb{Q})
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(1+(a*b)=(1+a)(1+b))
(a*b=a-b)
(a*b=ab-1)
(1-(a*b)=(1-a)(1-b))
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Binary but not associative
Not binary
Associative
Commutative
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(-1) has no inverse
(-1) is the identity
The inverse of (-1) is (1)
The inverse of (-1) is (-1)
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(1+a*b=(1+a)(1+b))
(a*b=(a-1)(b-1))
(a*b=a-b+ab)
(a*b=\frac{a+b}{ab})
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((1-a)(1-b))
((1+a)(1+b))
(a-b)
(ab-a-b)
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(1)
(0)
(2)
(-1)
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(0)
(\frac{1}{2})
(1)
None
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(\frac{1}{2})
(0)
(1)
(2)
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(\frac{2}{3})
(-2)
(\frac{-2}{3})
(3)
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Yes
No
Only on positive integers
Only for zero
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No identity element exists
(1) is identity
(4) is identity
(2) is identity
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(1)
(3)
(0)
(2)
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(3)
(2)
(0)
All
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Binary but not commutative
Commutative
Associative
Identity is (0)
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(a*0=a^2), which is not always (a)
(0*a=a) never holds
(a*0=0)
(0) is not in the set
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(-\frac{1}{k})
(\frac{1}{k})
(0)
(k)
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(-\frac{2}{7})
(\frac{2}{7})
(-\frac{7}{2})
(7)
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(-\frac{1}{3})
(\frac{1}{3})
(3)
(0)
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(\frac{-a}{1-a}), where (a\neq1)
(\frac{a}{1-a})
(\frac{-a}{1+a})
(1-a)
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Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
No, because (ab\neq ba)
No, because (a+b\neq b+a)
Only when (a=0)
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Yes
No
Only on integers
Only on positive numbers
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Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)
Because (a*b) is always (0)
Because (a*b) is always (1)
Because (a*b) is always positive
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(\frac{3}{2})
(-\frac{3}{2})
(2)
(\frac{2}{3})
Question 1HardLevel 4
On (\mathbb{Q}\setminus{0}), (a*b=\frac{ab}{2}). What will be the inverse of (a)?(\mathbb{Q}\setminus{0}) पर (a*b=\frac{ab}{2}) है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity of this operation is (2). Step 2: For inverse (b), use (\frac{ab}{2}=2). Step 3: This gives (ab=4), so (b=\frac{4}{a}); finding identity first is essential.चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक अवयव (2) है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (\frac{ab}{2}=2)। चरण 3: इससे (ab=4) और (b=\frac{4}{a}); पहले तत्समक अवयव जानना जरूरी है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+ab). On which set will this operation not be closed?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+ab) है। यह संक्रिया किस समुच्चय पर संवृत नहीं होगी?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Closure means the result must remain in the same set. Step 2: (\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}), which is not in ((-1,1)). Step 3: One valid counterexample is enough to disprove closure.चरण 1: संवृतता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए। चरण 2: (\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}), जो ((-1,1)) में नहीं है। चरण 3: किसी गुण को झुठलाने के लिए एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है।
For (a*b=a+b+ab) on (\mathbb{R}), which form is helpful for checking associativity?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+ab) के लिए कौन-सा रूप साहचर्य जाँच में सहायक है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Add (1) to (a*b=a+b+ab). Step 2: (1+a+b+ab=(1+a)(1+b)), which helps prove associativity quickly. Step 3: Turning an unusual operation into a familiar product form saves time in exams.चरण 1: (a*b=a+b+ab) में (1) जोड़ें। चरण 2: (1+a+b+ab=(1+a)(1+b)) मिलता है, जिससे साहचर्य जल्दी दिखता है। चरण 3: कठिन संक्रिया को गुणन जैसे परिचित रूप में बदलना परीक्षा में समय बचाता है।
On (A=\mathbb{R}\setminus{0}), (a*b=\frac{a}{b}). Choose the correct statement.समुच्चय (A=\mathbb{R}\setminus{0}) पर (a*b=\frac{a}{b}) है। सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (a,b\neq0), then (\frac{a}{b}\neq0), so closure holds. Step 2: ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), generally not equal. Step 3: Division may be closed on non-zero reals, but associativity and commutativity must be tested separately.चरण 1: (a,b\neq0) होने पर (\frac{a}{b}\neq0), इसलिए संवृतता है। चरण 2: ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। चरण 3: भाग में संवृतता हो सकती है, फिर भी साहचर्य और क्रमविनिमेयता अलग से जाँचनी पड़ती है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+ab). Which statement about (a=-1) is correct?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+ab) है। (a=-1) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity of this operation is (0). Step 2: From (-1*b=0), we get (-1+b-b=-1), which cannot be (0). Step 3: Do not assume every element has an inverse; solve the inverse equation.चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (-1*b=0) से (-1+b-b=-1) मिलता है, जो (0) नहीं हो सकता। चरण 3: हर अवयव का प्रतिलोम मान लेने से गलती होती है; समीकरण हल करके देखना चाहिए।
On (\mathbb{R}\setminus{-1}), (a*b=a+b+ab) is given. This operation is related to which expression?(\mathbb{R}\setminus{-1}) पर (a*b=a+b+ab) दी है। यह संक्रिया किससे संबंधित है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Add (1) to the operation. Step 2: (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)). Step 3: This form is very useful in inverse and associativity questions.चरण 1: संक्रिया में (1) जोड़कर देखें। चरण 2: (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। चरण 3: यह रूप प्रतिलोम और साहचर्य वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी रहता है।
If (a*b=a+b-ab), then (1-a*b) is equal to what?यदि (a*b=a+b-ab), तो (1-a*b) किसके बराबर है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (1-a*b=1-(a+b-ab)). Step 2: This becomes (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)). Step 3: Such forms connect the operation with ordinary multiplication and simplify proofs.चरण 1: (1-a*b=1-(a+b-ab)) लिखें। चरण 2: यह (1-a-b+ab=(1-a)(1-b)) बनता है। चरण 3: इस प्रकार के रूप संक्रिया को सरल गुणन से जोड़ देते हैं।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-ab). Which element has no inverse?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम मौजूद नहीं है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity for this operation is (0). Step 2: (1*b=1+b-b=1), which can never become (0). Step 3: If the inverse equation cannot reach the identity, that element has no inverse.चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (1*b=1+b-b=1), यह कभी (0) नहीं बनता। चरण 3: जिस अवयव के साथ समीकरण तत्समक अवयव तक न पहुँचे, उसका प्रतिलोम नहीं होता।
If (a*b=a+b-2ab), what is the identity element of this operation?यदि (a*b=a+b-2ab), तो इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Put (a*e=a). Step 2: From (a+e-2ae=a), we get (e(1-2a)=0). Step 3: For all (a), this is true when (e=0), so the identity is (0).चरण 1: (a*e=a) रखें। चरण 2: (a+e-2ae=a) से (e(1-2a)=0) मिलता है। चरण 3: सभी (a) के लिए यह तभी सही है जब (e=0), इसलिए तत्समक अवयव (0) है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-2ab). Which element will not have an inverse?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-2ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (0). Step 2: For inverse (b), (a+b-2ab=0), so (b(1-2a)=-a). Step 3: If (a=\frac{1}{2}), then (1-2a=0), so the inverse equation cannot be solved.चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-2ab=0), जिससे (b(1-2a)=-a)। चरण 3: यदि (a=\frac{1}{2}), तो (1-2a=0) हो जाता है और समीकरण हल नहीं होता।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-2ab). What is the inverse of (2)?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-2ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (0). Step 2: Put (2*b=0): (2+b-4b=0), so (2-3b=0). Step 3: Thus (b=\frac{2}{3}); solve the inverse equation carefully.चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (2*b=0) रखें, (2+b-4b=0), इसलिए (2-3b=0)। चरण 3: (b=\frac{2}{3}); प्रतिलोम समीकरण को सावधानी से हल करें।
On (\mathbb{Z}), (a*b=a+b+ab). Is it associative on (\mathbb{Z})?(\mathbb{Z}) पर (a*b=a+b+ab) है। क्या यह (\mathbb{Z}) पर साहचर्य है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (1+(a*b)=(1+a)(1+b)). Step 2: Ordinary multiplication is associative, so ((1+a)(1+b)(1+c)) is obtained in both groupings. Step 3: Transformation reduces long associativity calculations.चरण 1: (1+(a*b)=(1+a)(1+b)) लिखें। चरण 2: गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) दोनों कोष्ठकों में समान मिलेगा। चरण 3: रूपांतरण से साहचर्य की लंबी गणना छोटी हो जाती है।
On (A={1,2,3,4}), (a*b=\min(a+b,4)). What is true about the identity element?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (a*b=\min(a+b,4)) है। तत्समक अवयव के बारे में क्या सही है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: If (e\in A) were identity, then (1*e=1) must hold. Step 2: But (1+e\ge2), so (\min(1+e,4)) can never be (1). Step 3: Failure for one element proves that no identity exists.चरण 1: यदि (e\in A) तत्समक हो, तो (1*e=1) होना चाहिए। चरण 2: पर (1+e\ge2), इसलिए (\min(1+e,4)) कभी (1) नहीं होगा। चरण 3: एक अवयव पर असफलता दिखाने से तत्समक अवयव न होना सिद्ध हो जाता है।
On (A={0,1,2,3}), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?समुच्चय (A={0,1,2,3}) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (0), since the remainder of (a+0) modulo (4) is (a). Step 2: We need (3*b=0), so (3+b) must be divisible by (4). Step 3: With (b=1), the sum is (4), giving remainder (0).चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक अवयव (0) है क्योंकि (a+0) का शेषफल (a) है। चरण 2: (3*b) का शेषफल (0) चाहिए, इसलिए (3+b) को (4) से विभाज्य होना चाहिए। चरण 3: (b=1) लेने पर (4) मिलता है; शेषफल (0) है।
On (A={0,1,2,3}), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (4). Which element has a multiplicative inverse?समुच्चय (A={0,1,2,3}) पर (a*b) को (ab) का (4) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। किस अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम मौजूद है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity for this operation is (1). Step 2: (3*3) gives the remainder of (9) on division by (4), which is (1). Step 3: In modular multiplication, elements relatively prime to the modulus have inverses.चरण 1: इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। चरण 2: (3*3) में (9) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। चरण 3: शेषफल आधारित गुणन में वही अवयव प्रतिलोम रखते हैं जो मापांक से सहभाज्य हों।
On (\mathbb{R}), (a*b=a^2+b). Choose the correct statement.(\mathbb{R}) पर (a*b=a^2+b) है। सही कथन चुनिए।
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: (a^2+b) is a real number, so the operation is closed on (\mathbb{R}). Step 2: (a*b=a^2+b), while (b*a=b^2+a), generally not equal. Step 3: Closure and commutativity are different properties; test them separately.चरण 1: (a^2+b) वास्तविक संख्या है, इसलिए संक्रिया (\mathbb{R}) पर संवृत है। चरण 2: (a*b=a^2+b), जबकि (b*a=b^2+a), ये सामान्यतः बराबर नहीं। चरण 3: संवृतता और क्रमविनिमेयता अलग बातें हैं; दोनों को अलग जाँचें।
On (\mathbb{R}), (a*b=a^2+b). What prevents (0) from being an identity?(\mathbb{R}) पर (a*b=a^2+b) है। (0) के तत्समक होने की जाँच में कौन-सी बात बाधा बनती है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Identity must work from both sides. Step 2: (0*a=a) is true, but (a*0=a^2), which is not (a) for every (a). Step 3: One-sided identity is not enough; both sides must return the same element.चरण 1: तत्समक अवयव दोनों ओर से जाँचा जाता है। चरण 2: (0*a=a) सही है, पर (a*0=a^2) है, जो हर (a) के लिए (a) नहीं होता। चरण 3: केवल एक ओर सही होना पर्याप्त नहीं; दोनों ओर परिणाम वही अवयव होना चाहिए।
If (a*b=a+b+kab) and (k\neq0), which element will not have an inverse?यदि (a*b=a+b+kab) और (k\neq0), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity of this operation is (0). Step 2: For inverse (b), (a+b+kab=0), hence (b(1+ka)=-a). Step 3: When (a=-\frac{1}{k}), (1+ka=0), so no inverse exists.चरण 1: इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+kab=0), इसलिए (b(1+ka)=-a)। चरण 3: जब (a=-\frac{1}{k}), तब (1+ka=0) हो जाता है और प्रतिलोम नहीं मिलता।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+3ab). What is the inverse of (2)?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+3ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (0). Step 2: From (2*b=0), (2+b+6b=0), so (2+7b=0). Step 3: (b=-\frac{2}{7}); combine the terms containing (b) carefully.चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (2*b=0) से (2+b+6b=0), अर्थात (2+7b=0)। चरण 3: (b=-\frac{2}{7}); गुणांक जोड़ते समय (b) वाले पदों को साथ रखें।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b+3ab). Which element has no inverse?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b+3ab) है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम रहित है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Solve (a+b+3ab=0) for inverse. Step 2: (b(1+3a)=-a), so division is possible only when (1+3a\neq0). Step 3: For (a=-\frac{1}{3}), the denominator fails, so this element has no inverse.चरण 1: प्रतिलोम के लिए (a+b+3ab=0) हल करें। चरण 2: (b(1+3a)=-a), इसलिए हर बार भाग तभी होगा जब (1+3a\neq0)। चरण 3: (a=-\frac{1}{3}) पर हर नहीं चलता, इसलिए यह अवयव प्रतिलोम रहित है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-ab). For (a*b=0), what is (b) equal to?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-ab) है। (a*b=0) होने के लिए (b) किसके बराबर होगा?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (a+b-ab=0). Step 2: (b(1-a)=-a), so (b=\frac{-a}{1-a}), when (a\neq1). Step 3: Always note the denominator condition because it decides existence of inverse.चरण 1: (a+b-ab=0) लिखें। चरण 2: (b(1-a)=-a), इसलिए (b=\frac{-a}{1-a}), जब (a\neq1)। चरण 3: हर में शून्य आने वाली शर्त जरूर लिखें, क्योंकि वही प्रतिलोम के अस्तित्व को तय करती है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-ab). Is this operation commutative?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Compare (a*b) and (b*a). Step 2: (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba), which are equal. Step 3: Since addition and multiplication of real numbers are commutative, this operation is also commutative.चरण 1: (a*b) और (b*a) की तुलना करें। चरण 2: (a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba), दोनों बराबर हैं। चरण 3: वास्तविक संख्याओं में जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं, इसलिए यहाँ भी यह गुण मिलता है।
On (\mathbb{R}), (a*b=a+b-ab). Is it associative?(\mathbb{R}) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह साहचर्य है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Write (1-(a*b)=(1-a)(1-b)). Step 2: For three elements, the result follows (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)). Step 3: Ordinary multiplication is associative, so both groupings give the same result.चरण 1: (1-(a*b)=(1-a)(1-b)) लिखें। चरण 2: तीन अवयवों के लिए परिणाम (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)) जैसा होगा। चरण 3: गुणन साहचर्य है, इसलिए दोनों कोष्ठकों में वही परिणाम मिलता है।
On (A=\mathbb{R}\setminus{1}), (a*b=a+b-ab). Why is it closed on (A)?समुच्चय (A=\mathbb{R}\setminus{1}) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) पर संवृत क्यों है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: Since (a,b\in A), (a\neq1) and (b\neq1). Step 2: (1-a*b=(1-a)(1-b)), and both factors are non-zero, so the result cannot be (1). Step 3: For closure, it is enough to show the result remains in the same set.चरण 1: (a,b\in A) होने से (a\neq1) और (b\neq1)। चरण 2: (1-a*b=(1-a)(1-b)), और दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (1) नहीं होगा। चरण 3: संवृतता में यह दिखाना काफी है कि परिणाम फिर उसी समुच्चय में है।
On (\mathbb{R}\setminus{1}), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (3)?(\mathbb{R}\setminus{1}) पर (a*b=a+b-ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Step 1: The identity is (0). Step 2: From (3*b=0), (3+b-3b=0), so (3-2b=0). Step 3: (b=\frac{3}{2}), and it belongs to the set because it is not (1).चरण 1: तत्समक अवयव (0) है। चरण 2: (3*b=0) से (3+b-3b=0), अर्थात (3-2b=0)। चरण 3: (b=\frac{3}{2}), जो समुच्चय में है क्योंकि यह (1) नहीं है।
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