If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=\sqrt{x^2-10x+29}), what is the range?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=\sqrt{x^2-10x+29}) से दिया गया है, तो परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([2,\infty))([2,\infty))
To find the range, first rewrite the expression under the square root by completing the square: \\(x^2-10x+29=(x-5)^2+4\\). Since a square is always non-negative, the smallest possible value of the expression inside the root is 4, achieved at x=5.
The square root is therefore at least \\(\sqrt4=2\\). As x moves away from 5, \\( (x-5)^2\\) can take every non-negative value and the function increases without bound. Hence every value from 2 onward occurs, so the range is \\([2,\infty)\\). Option A is correct; 0 is not possible because the radicand never falls below 4.परिसर ज्ञात करने के लिए पहले वर्ग पूर्ण करें: \\(x^2-10x+29=(x-5)^2+4\\)। किसी भी वास्तविक x के लिए वर्ग \\((x-5)^2\\) ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए मूलचिह्न के अंदर की न्यूनतम राशि 4 है, जो x=5 पर मिलती है।
इसलिए फलन का न्यूनतम मान \\(\sqrt4=2\\) है। x को 5 से दूर करने पर \\((x-5)^2\\) हर गैर-ऋणात्मक मान ले सकता है और फलन बिना सीमा के बढ़ सकता है। अतः 2 से अनंत तक प्रत्येक मान प्राप्त होता है और परिसर \\([2,\infty)\\) है। विकल्प A सही है। 0 संभव नहीं है, क्योंकि मूलचिह्न के अंदर की राशि कभी 4 से कम नहीं होती।
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