If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=\frac{1}{|2x-1|-5}), what should be the correct domain?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=\frac{1}{|2x-1|-5}) से दिया जाए, तो सही प्रांत क्या होना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R}-{-2,3})(\mathbb{R}-{-2,3})
The direct answer is A: the correct domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}\). A rational expression is defined only when its denominator is non-zero. Here the denominator is |2x−1|−5, so require |2x−1|−5≠0, or |2x−1|≠5. An absolute value equals 5 when 2x−1=5 or 2x−1=−5. These give 2x=6 and x=3, or 2x=−4 and x=−2. Remove both numbers from all real numbers. Option A is correct. Option B is wrong because 5 is not the excluded value; substituting x=5 gives denominator |9|−5=4, which is non-zero. Option C is wrong because x=1/2 gives denominator |0|−5=−5, also non-zero. Option D is wrong because many numbers greater than or equal to 3 are valid, such as x=4. Memory cue: for a fraction, set only the denominator equal to zero and exclude every resulting x.सीधा उत्तर A है: सही प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-2,3\}\) है। भिन्न तभी परिभाषित होती है जब उसका हर शून्य न हो। यहाँ हर |2x−1|−5 है, इसलिए |2x−1|−5≠0, अर्थात |2x−1|≠5 होना चाहिए। अब |2x−1|=5 के लिए दो स्थितियाँ होंगी: 2x−1=5 या 2x−1=−5। पहली से 2x=6 और x=3 मिलता है; दूसरी से 2x=−4 और x=−2 मिलता है। इसलिए सभी वास्तविक संख्याओं में से −2 और 3 हटेंगे। विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 5 हटाने वाली संख्या नहीं है; x=5 पर हर |9|−5=4 है। विकल्प C गलत है, क्योंकि x=1/2 पर हर |0|−5=−5 है, जो शून्य नहीं है। विकल्प D गलत है, क्योंकि 3 या उससे बड़े बहुत से मान मान्य हैं, जैसे x=4। याद रखें: भिन्न के प्रांत में केवल हर को शून्य करके मिलने वाले x हटाए जाते हैं।
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